计算两竖直直线与椭圆围成部分面积

椭圆方程 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，直线 \(x=l\)，\(x=r\)，计算图中蓝色部分的面积。

定积分

为了找到这个蓝色区域的面积，我们可以使用定积分来积分椭圆上半部分的函数，并在 \(x = l\) 和 \(x = r\) 之间计算面积，然后将结果翻倍，因为椭圆是关于x轴对称的。

椭圆方程给出了 \(y\) 关于 \(x\) 的表达式：

\[y = \pm b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \]

我们只需要上半部分的公式，即正的y值：

\[y = b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \]

面积 \(A\) 可以通过计算 \(y\) 关于 \(x\) 的定积分来得到：

\[A = 2 \int_{l}^{r} b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} , dx \]

这个积分可以通过变量代换来计算。我们可以设 \((x = a\sin(\theta))，因此 (dx = a\cos(\theta)d\theta)。当 (x = l) 时，(\theta = \arcsin(\frac{l}{a}))；当 (x = r) 时，(\theta = \arcsin(\frac{r}{a}))\)。

变量代换后，积分变为：

\[A = 2b \int_{\arcsin(\frac{l}{a})}^{\arcsin(\frac{r}{a})} \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} , a\cos(\theta)d\theta \]

因为 \(\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}) 是 (\cos(\theta)\)，这个积分可以简化为：

\[A = 2ab \int_{\arcsin(\frac{l}{a})}^{\arcsin(\frac{r}{a})} \cos^2(\theta) , d\theta \]

我们可以使用倍角公式来简化 \(\cos^2(\theta)\)：

\[\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \]

替换到积分中得：

\[A = 2ab \int_{\arcsin(\frac{l}{a})}^{\arcsin(\frac{r}{a})} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} , d\theta \]

分开积分：

\[A = ab \left[\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{\arcsin(\frac{l}{a})}^{\arcsin(\frac{r}{a})} \]

最后将 \(\theta\) 的值代入得到：

\[A = ab \left[\arcsin(\frac{r}{a}) - \arcsin(\frac{l}{a}) + \frac{1}{2}\sin(2\arcsin(\frac{r}{a})) - \frac{1}{2}\sin(2\arcsin(\frac{l}{a}))\right] \]

注意，我们需要计算出 \((\sin(2\arcsin(\frac{r}{a}))) 和 (\sin(2\arcsin(\frac{l}{a})))\) 的值。这可以使用三角恒等式来计算，最后你可以得到一个表达式，它只包含 \(a, b, l, r\) 的值，这就是蓝色区域的面积。需要注意的是，计算这些三角函数的过程可能相当复杂，可能需要额外的代数技巧来简化。

割补法？

要计算图中蓝色部分的面积，我们需要计算从 \(x = l\) 到 \(x = r\) 的椭圆部分的面积。

首先，我们可以先计算椭圆的一个象限的完整面积，然后根据这个结果来计算所需的面积。

椭圆的一个象限面积是椭圆总面积的四分之一。椭圆的总面积由公式 \((A = \pi a b)\) 给出，其中 \((a)\) 是椭圆的半长轴，\(b\) 是椭圆的半短轴。所以，一个象限面积 \((A_{\text{象限}} = \frac{\pi a b}{4})\)。

接下来，我们需要计算直线 \(x = l\) 和 \(x = r\) 与椭圆的交点。由于直线垂直于x轴，我们可以直接将 \(x = l\) 和 \(x = r\) 代入椭圆方程来解出对应的 \(y\) 值。

对于 \(x = l\)，我们有：

\[\frac{l^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

解出 \(y\) 得：

\[y = \pm b \sqrt{1 - \frac{l^2}{a^2}} \]

\(y\)的正负值代表了椭圆在直线左侧的上下两点。

类似地，对于 \(x = r\)，我们有：

\[y = \pm b \sqrt{1 - \frac{r^2}{a^2}} \]

现在，我们需要计算从 \(x = l\) 到 \(x = r\) 的椭圆弓形的面积。我们可以通过计算相对应的扇形面积减去三角形面积来得到这个值。

椭圆弓形的面积 \(A_{\text{弓形}}\) 可以表示为椭圆的一个象限面积乘以横坐标所占的角度比例再减去相应的三角形面积。如果定义 \(\theta_l\) 和 \(\theta_r\) 分别代表 (x = l) 和 (x = r) 时椭圆上点的角度，那么弓形面积可以表示为：

\[A_{\text{弓形}} = \frac{\pi a b}{4} \left( \frac{\theta_r - \theta_l}{\pi/2} \right) - \text{三角形面积} \]

角度 \(\theta\) 可以通过反余弦函数得到，即 \(\theta = \arccos(\frac{x}{a})\)。然后，使用这些角度来计算椭圆弓形的面积。

最后，我们需要两次计算这个值，一次是对于上半部分的弓形，一次是对于下半部分的弓形，然后将两者相加，以得到蓝色封闭区域的总面积。注意，由于椭圆关于x轴对称，这两个弓形面积是相同的，因此我们可以计算一次弓形面积然后乘以2。

这是面积计算的一种方法。在实际操作中，可能需要借助积分来直接计算弓形的面积，这涉及到比较复杂的数学运算。