并查集
介绍
我们遇到一些有 \(n\) 个元素的集合应用问题中，当给出两个元素的一个无序对 \((a,b)\) 时，需要快速合并 \(a\) 和 \(b\) 分别所在的集合，并查集就是这样的用于处理分离集合的抽象数据类型。它的作用就是动态地维护和处理集合元素之间的复杂关系。
操作
使用并查集应首先记录一组分离的动态集合 \(S=\{S_1,S_2,...,S_k\}\)，每个集合还要设置一个代表来识别，代表只要选择该集合中的某个元素（成员）即可，集合中的哪个元素被选作代表是无所谓的。并查集有三种操作：初始化、查找与合并。
这里的并查集采用树实现。树结构用静态数组模拟，设 fa[x] 表示 \(x\) 元素所指向的父亲。
1. 初始化
建立一个新的集合，其中仅有的成员是 \(x\)，同时 \(x\) 也是代表。因为各集合是分离的，所以要求 \(x\) 没有在其他集合中出现过。使用并查集之前都需要执行一次初始化操作。树结构并查集初始化操作的实现很简单，只需要执行 fa[x]=x 即可。
for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
2. 查找
查找一个元素所在的集合，这个操作返回该集合的代表，也就是树根。查找操作是并查集的核心操作，也是优化并查集效率的重点。
对于树结构，查找时需要以 \(x\) 为基点，向上寻找它的父结点，再以父节点为基点，向上寻找父节点的父节点……直到找到根结点为止。
路径压缩：在查找一个结点所在树的根结点的过程中，一条从待查结点到根结点的路径。我们不妨让这些路径上的结点直接指向根结点，即作为根结点的子节点。这样，这些路径上的结点仍在分离集合中，整棵树仍然满足分离集合树的要求，但是路径上结点的深度就减小了。这就是路径压缩。
ll fin(ll x)//路径压缩
{
if(fa[x]!=x) fa[x]=fin(fa[x]);
return fa[x];
/* 上下两种写法等价
if(fa[x]==x) return x;
else return fa[x]=fin(fa[x]);
*/
}
我们看到，查找过程是一个递归的过程，实现非常简洁。同时，我们的方法也可以保证递归深度不会很深。
3. 合并
合并即把两个集合合并成一个集合。一般来说，在不同的实现中通常都以 \(S_x\) 或者 \(S_y\) 的代表作为新集合的代表。合并之前先判断两个元素是否属于同一集合，这个可以通过查找来实现。
void merge(ll x,ll y)
{
x=find(x);
y=find(y);
fa[y]=x;
}
按秩合并：使得树拥有比较小的深度。我们可以用结点数（称为“秩”，rank）代替树的深度进行比较。
void merge(ll x,ll y) //按秩合并
{
x=find(x);
y=find(y);
if(x==y) return;
if(ran[x]<ran[y])
fa[x]=y;
else
{
fa[y]=x;
if(ran[x]==ran[y])
ran[x]++;
}
}
如果将路径压缩和按秩合并一起使用，则可以证明，\(n\) 次查找最多需要用 \(O(n*\alpha(n))\) 的时间，其中 \(\alpha(n)\) 是单变量阿克曼函数的逆函数，它是一个增长速度比 \(\log_2n\) 慢得多但又不是常数的函数。在一般情况下 \(\alpha(n) \leq 4\)，可以当作常数。
相关习题
1. 亲戚
这道题是一个并查集的模板题，对于较弱的数据，查找过程中只需要用路径压缩即可。对于较强的数据，既要路径压缩还要按秩合并，甚至还需要快读和卡常优化（不是）。
对于一本通的题目描述，Code:
#include<头文件>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read(){
快读;
}
ll ans=0;
ll fa[50002],ran[50002];
void start(ll n)//初始化
{
for(int i=1;i<=n;++i)
{
fa[i]=i;
ran[i]=0;
}
}
ll fin(ll x)//查找－路径压缩
{
if(fa[x]!=x) fa[x]=fin(fa[x]);
return fa[x];
// if(fa[x]==x) return x;
// else return fa[x]=fin(fa[x]);
}
void merge(ll x,ll y)//按秩合并
{
if(x==y) return;
if(ran[x]<ran[y])
fa[x]=y;
else
{
fa[y]=x;
if(ran[x]==ran[y])
ran[x]++;
}
}
int main()
{
ll n,m,p;
n=read();
m=read();
start(n); //初始化
for(int i=1;i<=m;++i) //合并
{
ll x,y;
x=read();
y=read();
ll fax=fin(x);
ll fay=fin(y);
merge(fax,fay);
}
p=read();
for(int i=1;i<=p;++i) //询问
{
ll x,y;
x=read();
y=read();
if( fin(x) == fin(y) )
puts("Yes");
else puts("No");
}
return 0;
}
2. 家谱
巧妙使用ＳＴＬ的 map，把结点和它的父亲直接连接起来即可。
Code:
#include<头文件>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
map<string,string> fa;
string fin(string x) //路径压缩
{
if(x!=fa[x]) fa[x]=fin(fa[x]);
return fa[x];
}
string s,s1;
int main()
{
char ch;
cin>>ch;
while(ch!='$')
{
cin>>s;
if(ch=='#')
{
s1=s;
if(fa[s]=="") //自己的父亲是自己（没有修改过）
fa[s]=s; //设为真正的自己
//否则不更改
}
else if(ch=='+')
fa[s]=s1;
else
cout<<s<<" "<<fin(s)<<endl;
cin>>ch;
}
return 0;
}
3. 食物链
本题中一共有３种动物，我们给每个动物一个权值，同一类的动物对于３取余。
我们发现这样一个特性：如果知道Ａ与Ｂ的关系、Ｂ与Ｃ的关系，那么可以推出Ａ和Ｃ的关系。也就是说。对于已知相互关系的动物集合 \(S_1,S_2\)，我们只要直到其中 \(a\) 属于 \(S_1\)，\(b\) 属于 \(S_2\) ,那么 \(S_1,S_2\) 中任意两个元素的关系就可以推出来了。由此，我们可以使用带权的并查集来维护它们之间的关系。
Code:
#include <头文件>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
ll n, k, x, y, d, ans;
ll fa[100002], ran[100002];
void start(int n) //初始化
{
for (int i = 1; i <= n; ++i)
fa[i] = i;
}
ll fin(ll x) //查找＋路径压缩
{
if (x != fa[x])
{
ll tmp = fa[x];
fa[x] = fin(fa[x]);
ran[x] = (ran[x] + ran[tmp]) % 3;
}
return fa[x];
}
int main()
{
n = read();
k = read();
start(n); //初始化
for (int i = 1; i <= k; ++i)
{
d = read();
x = read();
y = read();
if (x > n or y > n) //第一种不符合条件的情况
{
++ans;
continue;
}
if (d == 1)
{
if (fin(x) == fin(y))
{
if (ran[x] != ran[y])
++ans;
}
else
{
{
ran[fa[x]] = (ran[y] - ran[x] + 3) % 3;
fa[fa[x]] = fa[y];
}
}
}
else
{
if (x == y) //自己吃自己
{
++ans;
continue;
}
if (fin(x) == fin(y))
{
if (ran[x] != (ran[y] + 1) % 3) //与前面冲突
++ans;
}
else
{
ran[fa[x]] = (ran[y] - ran[x] + 4) % 3;
fa[fa[x]] = fa[y];
}
}
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
EdisonBa
2021.2.2 初次编辑
