位运算进阶

目录

• 编码
• 光速大整数乘法
• 二进制状态压缩
  • 位运算操作
  • 运算符优先级
• \(lowbit\) 计算
  • 推导
  • Code
  • 内置函数
• 参考文献

编码

在 m 位二进制数中，通常称最低位为 0 位，从右到左以此类推，最高位为 \(m-1\) 位。

当无符号整数 (unsigned) 爆了的时候，它会自动 %，不会爆出负数。

C++ 的十六进制常常以 “0x” 开头，“0x” 后面的部分对应具体的十六进制的数值。当使用 memset 时，memset 只能赋值出 “每 8 位都相同的数”。当需要把一个数组中的数值初始化为正无穷时，为了避免加法算术上溢出或者繁琐的判断，我们经常用 memset(a, 0x3f, sizeof(a)) 给数组赋 0x3F 3F 3F 3F 的值来代替。

对于数字 0x3F 3F 3F 3F，它是满足以下两个条件的最大整数：

1. 整数的两倍不超过 0x7F 7F 7F 7F，即 int 能表示的最大正整数。
2. 整数的每 8 位（每个字节） 都是相同的。

光速大整数乘法

• 时间复杂度为 \(O(1)\)

  ull mul(ull a,ull b,ull p)
  {
      a%=p;
      b%=p;
      ull c=(long double) a*b/p;
      ull x=a*b;
      ull y=c*p;
      ll ans=(ll)(x%p)-(ll)(y%p);
      if(ans<0) ans+=p;
      return ans;
  }
  

• 时间复杂度为 \(O(\log_2b)\)

  ll mul(ll a,ll b,ll p)
  {
      ll ans=0;
      for(;b;b>>=1)
      {
          if(b&1) ans=(ans+1)%p;
          a=a*2%p;
      }
      return ans;
  }
  

二进制状态压缩

位运算操作

二进制状态压缩，是指将一个长度为 m 的 bool 数组用一个 m 位二进制整数表示并存储的方法。利用下列位运算操作可以实现原 bool 数组中对应下标元素的存取。

操作	运算
取出 n 的第 k 位	( n >> k ) & 1
取出 n 的后 k 位（ 0 ~ k-1 位）	n & ( ( 1 << k ) - 1 )
将第 k 位取反，赋值到 n	n = n xor ( 1 << k )
将第 k 位变为 1，赋值到 n	n |= ( 1 << k )
将第 k 位变为 0，赋值到 n	n &= ( ~ ( 1 << k ) )

这种方法运算简便，比暴力从十进制算出二进制的每一位节省了大量的时间和空间。

推荐题目：CSP-S2020 动物园

运算符优先级

从高到低排列：

加减	移位	比较大小	按位与	按位异或	按位或
+ , -	<< , >>	> , < , == , !=	&	xor ( C++ ^ )	|

如果不确定优先级，则可以加一些括号，以保证运算顺序的正确性。

\(lowbit\) 计算

lowbit(n) 定义为非负整数 n 在二进制表示下 “最低位的 1 及其后边所有的 0 构成的数值”。

推导

设 \(n>0\) ，\(n\) 的第 \(k\) 位是 \(1\)，第 \(0\) ~ \(k-1\) 位都是 \(0\)。

为了实现 lowbit 运算，先把 \(n\) 取反，此时第 \(k\) 位变为 0， 第 \(0\) ~ \(k-1\) 位都是 1。再令 \(n=n+1\) ，此时因为要进位，第 k 位变为 1 ，第 \(0\) ~ \(k-1\) 位都是 0。

在上面的取反加 1 操作后，\(n\) 的第 \(k+1\) 到最高位恰好与原来相反，所以 \(n ~\& ~(\sim n+1)\) 仅有第 \(k\) 位为 1，其余位都是 0。而在补码表示下，\(\sim n = -1-n\)，因此：

\[lowbit(n)=n ~\& ~(\sim n+1) = n ~\& ~(-n) \]

Code

配合 Hash 代替 \(\log\) 运算，可以使复杂度降低。

const maxn = 1 << 20;
int H[maxn];
for(int i=0; i<=20; ++i)
    H[1 << i] = i; //预处理

while(cin >> n) //对多组数据进行求解
{
    while(n > 0)
    {
        cout << H[n & -n] << ' ';
        n -= n & -n;
    }
    puts("");
}

内置函数

下面这些仙术可以高效计算 lowbit 以及二进制中 1 的个数。但是，部分竞赛禁止 使用下划线开头的库函数，所以这些内置函数在竞赛里不要使用。

• 返回 \(x\) 的二进制表示下最低位的 1 后面有多少个 0：
  int __builtin_ctz (unsigned int x)
long long __builtin_ctzll (unsigned long long x)

• 返回 \(x\) 的二进制表示下有多少位为 1：
  int __builtin_popcount (unsigned int x)
int __builtin_popcountll (unsigned long long x)

参考文献

李煜东 《算法竞赛 进阶指南》

EdisonBa

2021.1.15