20190709 暑训 区间种类数 莫队的学习
I - Turing Tree HDU - 3333
这个题目求的不是区间种类数，而是求一个区间不同数加和。
这个题目第一次碰到感觉有点难，看了题解，就是首先对这个区间进行离散化，然后对于每一个查询区间对r进行排序。
为什么要对 r 进行排序呢， 笼统的说就是消去前面更新对后面的影响。
举个例子， 1 1 2 1 3 如果查询区间是 3 5， 1 4， 1 2 ，那么排完序之后就是 1 2，1 4，3 5
查 1 2 的之前就可以把第一个1删去，第二个1 就放到第二个位置，查1 4 是不受影响的，查4 之前会把第三个和第四个放进去，然后第2个又会被删除，
第四个又会放进去，。。。
推荐博客 这个讲的很清楚。
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <queue> #include <vector> #include <algorithm> #include <string> #include <stack> #include <iostream> #include <map> #define inf 0x3f3f3f3f #define inf64 0x3f3f3f3f3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 1e5 + 10; typedef long long ll; ll sum[maxn * 8]; int a[maxn], b[maxn], vis[maxn]; struct node { int l, r, id; ll ans; }ex[maxn]; bool cmp1(node a,node b) { return a.r < b.r; } bool cmp2(node a,node b) { return a.id < b.id; } void push_up(int id) { sum[id] = sum[id << 1] + sum[id << 1 | 1]; //printf("sum[%d]=%lld\n", id, sum[id]); } void update(int id,int l,int r,int pos,int val) { if(l==r) { sum[id] = val; // printf(" sum[%d]=%d\n", id, val); return; } int mid = (l + r) >> 1; if (pos <= mid) update(id << 1, l, mid, pos, val); else update(id << 1 | 1, mid + 1, r, pos, val); push_up(id); } ll query(int id,int l,int r,int x,int y) { if(x<=l&&y>=r) return sum[id]; int mid = (l + r) >> 1; ll ans = 0; if (x <= mid) ans += query(id << 1, l, mid, x, y); if (y > mid) ans += query(id << 1 | 1, mid + 1, r, x, y); return ans; } int main() { int t; scanf("%d", &t); while(t--) { int n, m; scanf("%d", &n); memset(sum, 0, sizeof(sum)); for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), b[i] = a[i]; sort(b + 1, b + 1 + n); int len = unique(b + 1, b + 1 + n) - b - 1; for(int i=1;i<=n;i++) { a[i] = lower_bound(b + 1, b + 1 + n, a[i]) - b; } scanf("%d", &m); for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d%d", &ex[i].l, &ex[i].r), ex[i].id = i; sort(ex + 1, ex + 1 + m, cmp1); memset(vis, 0, sizeof(vis)); int k = 1; for(int i=1;i<=n;i++) { if(vis[a[i]]) { update(1, 1, n, i, b[a[i]]); update(1, 1, n, vis[a[i]], 0); vis[a[i]] = i; } else { update(1, 1, n, i, b[a[i]]); vis[a[i]] = i; } //printf("a[%d]=%d b[%d]=%d\n", i, a[i], a[i], b[a[i]]); while(i==ex[k].r&&k<=m) { ex[k].ans = query(1, 1, n, ex[k].l, ex[k].r); k++; } } sort(ex + 1, ex + 1 + m, cmp2); for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%lld\n", ex[i].ans); } return 0; }
区间种类数
这个和上面那个很类似，基本上是一样的。
这个可以用莫队来写，顺便学习了一下莫队。
图灵数的莫队代码
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <queue> #include <algorithm> #include <vector> #include <map> #include <string> #include <iostream> #define inf 0x3f3f3f3f #define inf64 0x3f3f3f3f3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 1e5 + 10; typedef long long ll; int a[maxn], b[maxn], pos[maxn], vis[maxn]; ll ans[maxn], Ans; struct node { int l, r, id; }ex[maxn]; bool cmp(node a,node b) { return pos[a.l] == pos[b.l] ? a.r < b.r : pos[a.l] < pos[b.l]; } void add(int x) { if (!vis[a[x]]) Ans += b[a[x]]; ++vis[a[x]]; } void del(int x) { --vis[a[x]]; if (!vis[a[x]]) Ans -= b[a[x]]; } int main() { int t; scanf("%d", &t); while(t--) { Ans = 0; memset(vis, 0, sizeof(vis)); int n, m; scanf("%d", &n); int siz = sqrt(n); for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &a[i]); b[i] = a[i]; pos[i] = i / siz; } sort(b + 1, b + n + 1); int len = unique(b + 1, b + 1 + n) - b - 1; for(int i=1;i<=n;i++) { a[i] = lower_bound(b + 1, b + len + 1, a[i]) - b; } scanf("%d", &m); for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d", &ex[i].l, &ex[i].r); ex[i].id = i; } sort(ex + 1, ex + 1 + m, cmp); int l = 1, r = 0; for(int i=1;i<=m;i++) { int ql = ex[i].l, qr = ex[i].r; while (l < ql) del(l), l++; while (l > ql) l--, add(l); while (r < qr) r++, add(r); while (r > qr) del(r), r--; ans[ex[i].id] = Ans; } for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%lld\n", ans[i]); } return 0; }
接下来写几个莫队的基本题目：
E. XOR and Favorite Number https://codeforces.com/contest/617/problem/E
这个题目的意思是让你求一个区间的异或值等于k的数有多少，
莫队基本上是套板子，只有add 和del 函数要自己写。
这个异或首先我们可以求前缀异或和，sum[i] 然后因为 a^b=c 可得 a^c=b
所以我们要一段区间 sum[i]^sum[j]=k 可以变成sum[i]^k=sum[j]
知道这一点了就好写多了，
这个add ans+=vis[a[i]^k] ++vis[a[i]]
这个del ans-=vis[a[i]^k] --vis[a[i]]
这个上面都是看题解的，但是为什么这个题目可以用莫队写呢，首先这个不强制在线，
其次觉得我们是要求一个区间满足条件的数，区间和满足条件的数的个数。
这个一般就可以用到莫队，具体还是多写写题目，刷点感觉吧
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <queue> #include <algorithm> #include <cmath> #include <vector> #include <map> #include <string> #include <iostream> #define inf 0x3f3f3f3f #define inf64 0x3f3f3f3f3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 1e5 + 10; const int maxn1 = 1e7 + 10; typedef long long ll; int a[maxn], pos[maxn], vis[maxn1]; ll ans[maxn], Ans; int n, m, k; int l, r; struct node { int l, r, id; }ex[maxn]; bool cmp(node a,node b) { return pos[a.l] == pos[b.l] ? a.r < b.r : pos[a.l] < pos[b.l]; } void add(int x) { Ans += vis[a[x] ^ k];//这个先统计答案再加上这个，不重复加。这个顺序主要是解决a[x]^k=a[x]，其他情况下先加哪个都一样。 ++vis[a[x]]; // printf("a[%x]=%d k=%d\n", x, a[x], k); // printf("add l=%d r=%d x=%d Ans=%lld %d\n",l,r, x, Ans,a[x]^k); } void del(int x) { --vis[a[x]];//先减去这个点，可以理解为求种类，先减去这个点，如果减去之后这个点不存在了，种类就-1 Ans -= vis[a[x] ^ k];//这个同理，如果减去这个点之后，这个ans就要减去和这个成对的数，如果恰好是其本身 //设未减去时为x，这个时候和他成对的应该只有x-1了。 // printf("del l=%d r=%d x=%d Ans=%lld\n",l,r ,x, Ans); } int main() { vis[0] = 1; scanf("%d%d%d", &n,&m,&k); int siz = sqrt(n); for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &a[i]); a[i] ^= a[i - 1]; pos[i] = i / siz; } for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d", &ex[i].l, &ex[i].r); ex[i].id = i; } sort(ex + 1, ex + 1 + m, cmp); l = 0, r = 0; for(int i=1;i<=m;i++) { int ql = ex[i].l, qr = ex[i].r; // printf("ql=%d qr=%d\n", ql, qr); while (l <= ql) del(l), l++; while (l >= ql) l--, add(l); while (r < qr) r++, add(r); while (r > qr) del(r), r--; ans[ex[i].id] = Ans; // printf("Ans=%lld\n", Ans); } for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%lld\n", ans[i]); return 0; }
注意开long long
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <queue> #include <algorithm> #include <cmath> #include <vector> #include <map> #include <string> #include <iostream> #define inf 0x3f3f3f3f #define inf64 0x3f3f3f3f3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 1e5 + 10; const int maxn1 = 1e7 + 10; typedef long long ll; int a[maxn], pos[maxn], vis[maxn]; ll Ans; struct node { int l, r, id; ll ans; }ex[maxn]; bool cmp(node a,node b) { return pos[a.l] == pos[b.l] ? a.r < b.r : pos[a.l] < pos[b.l]; } bool cmp1(node a,node b) { return a.id < b.id; } void add(int x) { Ans += vis[a[x]]; ++vis[a[x]]; //printf("add x=%d Ans=%d vis[%d]=%d\n", x, Ans, a[x], vis[a[x]]); } void del(int x) { --vis[a[x]]; Ans -= vis[a[x]]; //printf("del x=%d Ans=%d vis[%d]=%d\n", x, Ans, a[x], vis[a[x]]); } ll gcd(ll a,ll b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a%b); } int main() { int n, m; while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) { Ans = 0; memset(vis, 0, sizeof(vis)); int sz = sqrt(n); for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &a[i]); pos[i] = i / sz; } for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d", &ex[i].l, &ex[i].r); ex[i].id = i; } sort(ex + 1, ex + 1 + m, cmp); int l = 1, r = 0; for(int i=1;i<=m;i++) { int ql = ex[i].l, qr = ex[i].r; while (l < ql) del(l), l++; while (l > ql) l--, add(l); while (r > qr) del(r), r--; while (r < qr) r++, add(r); ex[i].ans = Ans; } sort(ex + 1, ex + 1 + m, cmp1); for(int i=1;i<=m;i++) { ll len = ex[i].r - ex[i].l + 1; ll un = len * (len - 1) / 2; ll g = gcd(un, ex[i].ans); printf("%lld/%lld\n", ex[i].ans / g, un / g); } } return 0; }
这个题目也很好写，没什么思维量，如果你可以意识到这个是一个莫队了就应该可以很快的写出来。
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <queue> #include <algorithm> #include <cmath> #include <vector> #include <map> #include <string> #include <iostream> #define inf 0x3f3f3f3f #define inf64 0x3f3f3f3f3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 1e6 + 10; const int maxn1 = 1e7 + 10; typedef long long ll; ll a[maxn], pos[maxn], vis[maxn1]; struct node { int l, r, id; }ex[maxn]; ll Ans, ans[maxn]; bool cmp(node a,node b) { return pos[a.l] == pos[b.l] ? a.r < b.r : pos[a.l] < pos[b.l]; } void add(int x) { // printf("x=%d\n", x); Ans -= vis[a[x]] * vis[a[x]] * a[x]; ++vis[a[x]]; Ans += vis[a[x]] * vis[a[x]] * a[x]; } void del(int x) { Ans -= vis[a[x]] * vis[a[x]] * a[x]; --vis[a[x]]; Ans += vis[a[x]] * vis[a[x]] * a[x]; } int main() { int n, m; scanf("%d%d", &n, &m); int sz = sqrt(n); for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]); for (int i = 1; i <= m; i++) { scanf("%d%d", &ex[i].l, &ex[i].r); pos[i] = i / sz; ex[i].id = i; } sort(ex + 1, ex + 1 + m, cmp); int l = 1, r = 0; for(int i=1;i<=m;i++) { int ql = ex[i].l, qr = ex[i].r; //printf("ql=%d qr=%d\n", ql, qr); while (l < ql) del(l), l++; while (l > ql) l--, add(l); while (r < qr) r++, add(r); while (r > qr) del(r), r--; ans[ex[i].id] = Ans; } for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%lld\n", ans[i]); return 0; }
Lucky HDU - 5213
这个题目没有之前那么简单，这个题，需要用到一点点的容斥定理来解决多区间询问问题。
我们要找 从(l1,r1)找到一个x，再从(l2,r2)找到一个y，使得x+y==k 问这样的有多少对。
这个是多区间的，莫队无法直接解决，所以就想办法转化成单区间的。
从(l1,r1) 和 （l2,r2) 各找一个 相当于在 (l1,r2）中找到若干对，然后 减去 （l1,l2) 再减去 （r1,r2) 再加上 (r1,l2） 的
这个被减去的都是不符合要求的。
ans=f ( l1 , r2 ) - f( l1 , l2 ) - f ( r1 , r2 ) + f ( r1 , l2 )
这个方法还挺巧妙的。
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <queue> #include <algorithm> #include <cmath> #include <vector> #include <map> #include <string> #include <iostream> #define inf 0x3f3f3f3f #define inf64 0x3f3f3f3f3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 3e5 + 10; const int maxn1 = 1e7 + 10; typedef long long ll; ll a[maxn], pos[maxn]; ll ans[maxn], Ans, vis[maxn]; int n, k, m; struct node { int l,r, id; int f; }ex[maxn]; bool cmp(node a,node b) { return pos[a.l] == pos[b.l] ? a.r < b.r : pos[a.l] < pos[b.l]; } void add(int x) { if (a[x] < k) Ans += vis[k - a[x]]; ++vis[a[x]]; } void del(int x) { --vis[a[x]]; if (a[x] < k) Ans -= vis[k - a[x]]; } int main() { while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF) { Ans = 0; memset(vis, 0, sizeof(vis)); memset(ans, 0, sizeof(ans)); int sz = sqrt(n), tot = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%lld", &a[i]); pos[i] = i / sz; } scanf("%d", &m); for(int i=1;i<=m;i++) { int l1, l2, r1, r2; scanf("%d%d%d%d", &l1, &r1, &l2, &r2); ex[++tot].l = l1, ex[tot].r = r2, ex[tot].f = 1, ex[tot].id = i; ex[++tot].l = l1, ex[tot].r = l2 - 1, ex[tot].f = -1, ex[tot].id = i; ex[++tot].l = r1 + 1, ex[tot].r = r2, ex[tot].f = -1, ex[tot].id = i; ex[++tot].l = r1 + 1, ex[tot].r = l2 - 1, ex[tot].f = 1, ex[tot].id = i; } sort(ex + 1, ex + 1 + tot, cmp); int l = 0, r = 0; for(int i=1;i<=tot;i++) { int ql = ex[i].l, qr = ex[i].r; while (l < ql) del(l), l++; while (l > ql) l--, add(l); while (r < qr) r++, add(r); while (r > qr) del(r), r--; ans[ex[i].id] += Ans * 1ll * ex[i].f; } for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%lld\n", ans[i]); } return 0; }
