非参数统计：第四章 多样本数据

目录

• 完全随机区组设计
  • Kruskal-Wallis秩和检验
    • 基本思想
    • 检验步骤
      • 第一步：提出原假设
      • 第二步：构造检验统计量
      • 第三步：计算伴随概率
      • 第四步：做出统计推断
    • 大样本近似检验
  • Jonckheere-Terpstra检验
    • 基本思想
    • 检验步骤
      • 第一步：提出原假设
      • 第二步：构造检验统计量
      • 第三步：计算伴随概率
      • 第四步：做出统计推断
    • 大样本近似检验
• 完全区组设计
  • Friedman秩和检验
    • 基本思想
    • 检验步骤
      • 第一步：提出原假设
      • 第二步：构造检验统计量
      • 第三步：计算伴随概率
      • 第四步：做出统计推断
    • 大样本近似检验
  • Kendall协同系数检验
    • 基本思想
    • 检验步骤
      • 第一步：提出原假设
      • 第二步：构造检验统计量
      • 第三步：计算伴随概率
      • 第四步：做出统计推断
    • 大样本近似检验
  • 二元数据检验（Cochran检验）
    • 基本思想
    • 检验步骤
      • 第一步：提出原假设
      • 第二步：构造检验统计量
      • 第三步：计算伴随概率
      • 第四步：做出统计推断
    • 大样本近似检验
  • Page检验
    • 基本思想
    • 检验步骤
      • 第一步：提出原假设
      • 第二步：构造检验统计量
      • 第三步：计算伴随概率
      • 第四步：做出统计推断
    • 大样本近似检验

完全随机区组设计

Kruskal-Wallis秩和检验

基本思想

将多个样本数据混合，得到样本平均秩应与总平均秩差异不大。

检验步骤

第一步：提出原假设

$H_0:\theta_1=\theta_2=...=\theta_n$；$H_1:\theta$不全相等；

第二步：构造检验统计量

1. 将多个样本混合后并排序
2. 按照每个样本求样本秩和$R_i$，并计算样本平均秩$\overline{R_i}=R_i/n_i$
3. 构造K-W统计量：$H=\dfrac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^kn_i(\overline{R_i}-\overline{R})^2=\dfrac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^k\dfrac{R_i^2}{n_i}-3(N+1)$

第三步：计算伴随概率

$k=3$，$n_i\leq 5$时，可查表确定临界值。

第四步：做出统计推断

略

大样本近似检验

$F^*=\dfrac{(N-k)H}{(k-1)(N-1-H)}\sim F(k-1,N-k)$

---

Jonckheere-Terpstra检验

基本思想

通过混合秩检验样本趋势，思路类似Mann-Whitney统计量。

检验步骤

第一步：提出原假设

$H_0:\theta_1=...=\theta_k$，$H_1:\theta_1\leq ... \leq\theta_k$；

第二步：构造检验统计量

$U_{ij}=$样本$i$中观测值小于样本$j$中观测值的个数

$J=\sum_{i\leq j}U_{ij}$

第三步：计算伴随概率

查表确定临界值。

第四步：做出统计推断

略

大样本近似检验

在大样本条件下，$J$统计量近似服从正态分布：
$J\sim N((N^2-\sum_{i=1}^{k}n_i^2)/4,[N^2(2N+3)-\sum_{i=1}^{k}n_i^2(2n_i+3)]/72)$

检验时需注意按照备择假设调整数据顺序

---

完全区组设计

Friedman秩和检验

基本思想

首先在$j$个区组内求秩，再按$i$个处理求和。即在K-W检验的基础上先进行区组排序。

检验步骤

第一步：提出原假设

$H_0:\theta_1=\theta_2=...=\theta_k$；$H_1:\theta$不全相等；

第二步：构造检验统计量

1. 将多个样本混合后并按区组排序$R_{ij}$
2. 按照每个处理求样本秩和$R_i=\sum_{j=1}^{b}R_{ij}$
3. 构造Friedman统计量：$Q=\dfrac{12}{bk(k+1)}\sum_{i=1}^k(R_i-\dfrac{b(k+1)}{2})^2=\dfrac{12}{bk(k+1)}\sum_{i=1}^k R_i^2-3b(k+1)$

第三步：计算伴随概率

查表确定临界值。

第四步：做出统计推断

略

大样本近似检验

对于固定$k$，当$b\rightarrow \infty$时，在零假设下有：$Q\rightarrow \chi^2(k-1)$

---

Kendall协同系数检验

基本思想

对不同个体的评价进行一致性/随机性检验，与Friedman秩和检验排序方式不同，但统计量的构造思路相似。

检验步骤

第一步：提出原假设

$H_0$：对不同个体的评价不相关/是随机的；$H_1$：对不同个体的评价非随机/是一致的；

第二步：构造检验统计量

1. 将多个样本混合后并按j评价排序$R_{ij}$（第$i$个个体在第$j$个评价中的排序）
2. 按照每个评价求样本秩和$R_i=\sum_{j=1}^{m}R_{ij}$
3. 构造Kendall统计量：$W = \dfrac{12S}{m^2(n^3-n)}=\sum_{i=1}^{n}(R_i-\dfrac{m(n+1)}{2})^2/m^2(n^3-n)$

第三步：计算伴随概率

查表确定临界值。

第四步：做出统计推断

略

大样本近似检验

对于固定$m$，当$n\rightarrow \infty$时，在零假设下有：$m(n-1)W\rightarrow \chi^2(k-1)$

---

二元数据检验（Cochran检验）

基本思想

认为区组观测值的和固定为$L_i$，而这些观测值在各个处理之间等概率随机分配。通过比较各个处理观测值的和与总观测值的平均值，检验各个处理之间的一致性。

检验步骤

第一步：提出原假设

$H_0:\theta_1=\theta_2=...=\theta_k$；$H_1:\theta$不全相等；

第二步：构造检验统计量

$Q=\dfrac{k(k-1)\sum_{i=1}{k}(N_i-\overline{N})^2}{kN-\sum_{j=1}{b}L_j^2}$

其中$L_j$为区组观测值求和，$N_i$为处理观测值求和，$\overline{N}=\dfrac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}{N_i}$

第三步：计算伴随概率

第四步：做出统计推断

略

大样本近似检验

对于固定$k$，当$b\rightarrow \infty$时，在零假设下有：$Q\rightarrow \chi^2(k-1)$

---

Page检验

基本思想

首先在$j$个区组内求秩，再按$i$个处理求和。思路类似Friedman秩和检验。

检验步骤

第一步：提出原假设

$H_0:\theta_1=...=\theta_k$，$H_1:\theta_1\leq ... \leq\theta_k$；

第二步：构造检验统计量

1. 将多个样本混合后并按区组排序$R_{ij}$
2. 按照每个处理求样本秩和$R_i=\sum_{j=1}^{b}R_{ij}$
3. 构造统计量：$L=\sum_{i=1}^{k}iR_i$

第三步：计算伴随概率

查表确定临界值。

第四步：做出统计推断

略

大样本近似检验

在大样本条件下，统计量近似服从正态分布：
$L\sim N(\dfrac{bk(k+1)^2}{4},\dfrac{b(k^3-k)^2}{144(k-1)})$

检验时需注意按照备择假设调整数据顺序