狄利克雷卷积 + 莫比乌斯反演

一. 狄利克雷卷积

对于两个数论函数,我们定义定义狄利克雷卷积:

那么对于数论函数 f(x)g(x) ,他们的狄利克雷卷积结果为 h(x) 定义为:

h(x)=d|xf(d)g(xd)

简记为

h(x)=f(x)g(x)

此运算满足:

  1. 交换律:

fg=gf

  1. 结合律:

(fg)h=f(gh)

  1. 分配律:

(f+g)h=fh+gh

二. 莫比乌斯反演

1.莫比乌斯函数

μ 为莫比乌斯函数, 其定义为:

μ(n)={1n=1(1)xi=1xki=10max{ki}2

莫比乌斯函数为积性函数, 并有如下性质

μ(d)={1n=10n1

d|nμ(d)=ϵ(n)μ1=ϵ

反演结论: [gcd(i,j)=1]=d|gcd(i,j)μ(d)

2.莫比乌斯变换

f(x) , g(x) 为两个数论函数。

形式一: 如果有 f(n)=d|ng(d) , 那么有 g(n)=d|nμ(d)f(nd)

这种形式下,数论函数 f(n) 称为数论函数 g(n) 的莫比乌斯变换,数论函数 g(n) 称为数论函数 f(n) 的莫比乌斯逆变换(反演)。

形式二: 如果有 f(n)=n|dg(d) ,那么有 g(n)=n|dμ(dn)f(d)

另附

1.常见积性函数

1(n)=1ϵ(n)=[n=1]σk(n)=i|nikidk(n)=nkφ(n)=in[gcd(i,n)=1]μ(n)={1n=1(1)xi=1xki=10max{ki}2

2.常见积性函数之间的变换及证明

  • μ1=ϵ

(μ1)(n)=d|nμ(d)1(nd)=d|nμ(d)=[n=1]=ϵ(n)

  • ϕ1=id1

(φ1)(n)=d|nφ(d)1(nd)=d|nφ(d)

考虑枚举 d 表示 1n 中某个数与 ngcdd,那么当 d[1,n] 时,得到的 in[gcd(i,n)=d] 的和就是 n

现在考虑如何求 in[gcd(i,n)=d],把 n 拆分成 n×nd 的形式,考虑一个满足条件的 i(in),将 i 拆分成 k×d 的形式,显然有 knd,又因为 gcd(i,n)=d,所以需要满足 k⊥nk,那么满足条件的 i 只会有 φ(nd) 个,所以容易得到

d|nφ(nd)=id1(n)d|nφ(nd)=d|nφ(d)=(φ1)(n)(φ1)(n)=id1(n)

  • μid1=ϕ

f(d) 表示 1n 中与 ngcdd 的个数,g(d) 表示 1n 中与 ngcdd 的倍数的个数

显然有

g(d)=[d|n]nd

由莫比乌斯反演得

f(g)=g|dμ(dg)g(d)=g|d,d|nμ(dg)ndf(1)=d|nμ(d)nd

容易发现 f(1) 其实就是 1n 中与 n 互质的个数

(μid1)(n)=d|nμ(d)1(nd)=f(1)=φ(n)

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