一. 狄利克雷卷积
对于两个数论函数，我们定义定义狄利克雷卷积：$ * $
那么对于数论函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) ，他们的狄利克雷卷积结果为 \(h(x)\) 定义为：
\[ h(x) = \sum_{d|x}{f(d)g(\frac{x}{d})}
\]
简记为
\[ h(x) = f(x) * g(x)
\]
此运算满足:
- 交换律:
\[ f*g = g*f
\]
- 结合律:
\[ (f*g)*h = f*(g*h)
\]
- 分配律:
\[ (f+g)*h = f*h+g*h
\]
二. 莫比乌斯反演
1.莫比乌斯函数
\(\mu\) 为莫比乌斯函数， 其定义为:
\[\begin{aligned}
\mu(n) =
\left\{\begin{matrix}
1 & n = 1\\
(-1)^x & \prod_{i = 1}^{x}{k_i = 1}\\
0 & \max\{ k_i \} \geq 2 \\
\end{matrix}\right.
\end{aligned}
\]
莫比乌斯函数为积性函数， 并有如下性质
\[\begin{aligned}
\mu(d) =
\left\{\begin{matrix}
1 & n = 1 \\
0 & n \neq 1 \\
\end{matrix}\right.
\end{aligned}
\]
即 $ \sum_{d|n}{\mu(d) = \epsilon(n)}， \mu * 1 = \epsilon $
反演结论: $ [gcd(i,j) = 1] = \sum_{d|gcd(i,j)}{\mu(d)} $
2.莫比乌斯变换
设 \(f(x)\) , \(g(x)\) 为两个数论函数。
形式一: 如果有 \(f(n) = \sum_{d|n}{g(d)}\) , 那么有 \(g(n) = \sum_{d|n}{\mu(d)f(\frac{n}{d})}\)
这种形式下，数论函数 \(f(n)\) 称为数论函数 \(g(n)\) 的莫比乌斯变换，数论函数 \(g(n)\) 称为数论函数 \(f(n)\) 的莫比乌斯逆变换(反演)。
形式二: 如果有 \(f(n) = \sum_{n|d}{g(d)}\) ，那么有 \(g(n) = \sum_{n|d}{\mu(\frac{d}{n})f(d)}\)
另附
1.常见积性函数
\[\begin{aligned}
1(n) &= 1\\
\epsilon(n) &= [n=1]\\
\sigma_k(n) &= \sum_{i|n}{i^k}\\
id_k(n) &= n^k\\
\varphi(n) &=\sum_i^n[\gcd(i,n)=1]\\
\mu(n) &=
\left\{\begin{matrix}
1 & n=1\\
(-1)^x & \prod_{i=1}^x k_i=1\\
0 & \max\{k_i\}\geq 2
\end{matrix}\right.
\end{aligned}
\]
2.常见积性函数之间的变换及证明
\[\begin{aligned}
(\mu*1)(n) &= \sum_{d|n}\mu(d)1(\frac{n}{d})\\
&= \sum_{d|n}\mu(d)\\
&= [n=1]\\
&= \epsilon(n)
\end{aligned}
\]
\[\begin{aligned}
(\varphi*1)(n) &= \sum_{d|n}\varphi(d)1(\frac{n}{d})\\
&= \sum_{d|n}\varphi(d)
\end{aligned}
\]
考虑枚举 \(d\) 表示 \(1 \sim n\) 中某个数与 \(n\) 的 \(gcd\) 为 \(d\)，那么当 \(d∈[1,n]\) 时，得到的 $\sum_i^n{[gcd(i,n)=d]} $ 的和就是 \(n\)
现在考虑如何求 $\sum_i^n{[gcd(i,n)=d]} $，把 \(n\) 拆分成 \(n \times\frac{n}{d}\) 的形式，考虑一个满足条件的 \(i(i \leqslant n)\)，将 \(i\) 拆分成 \(k \times d\) 的形式，显然有 $k \leqslant \frac{n}{d} $，又因为 gcd(i,n)=d，所以需要满足 k⊥nk，那么满足条件的 i 只会有 φ(nd) 个，所以容易得到
\[\begin{aligned}
\sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})&=id_1(n)\\
\because \sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d}) & = \sum_{d|n}\varphi(d)\\
& = (\varphi*1)(n)\\
\therefore(\varphi*1)(n) & = id_1(n)
\end{aligned}
\]
设 \(f(d)\) 表示 \(1 \sim n\) 中与 \(n\) 的 \(gcd\) 为 \(d\) 的个数，\(g(d)\) 表示 \(1 \sim n\) 中与 \(n\) 的 \(gcd\) 为 \(d\) 的倍数的个数
显然有
\[ g(d)=[d|n]\frac{n}{d}
\]
由莫比乌斯反演得
\[\begin{aligned}
f(g) &= \sum_{g|d}\mu(\frac{d}{g})g(d)\\
&= \sum_{g|d,d|n}\mu(\frac{d}{g})\frac{n}{d}\\
f(1) &= \sum_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}
\end{aligned}
\]
容易发现 \(f(1)\) 其实就是 \(1 \sim n\) 中与 \(n\) 互质的个数
\[\begin{aligned}
(\mu*id_1)(n) &= \sum_{d|n}\mu(d)1(\frac{n}{d})\\
&= f(1)\\
&= \varphi(n)
\end{aligned}
\]
