狄利克雷卷积 + 莫比乌斯反演

一. 狄利克雷卷积

对于两个数论函数，我们定义定义狄利克雷卷积：$*$

那么对于数论函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，他们的狄利克雷卷积结果为 $h(x)$ 定义为：

$$h(x) = \sum_{d|x}{f(d)g(\frac{x}{d})}$$

简记为

$$h(x) = f(x) * g(x)$$

此运算满足:

1. 交换律:

$$f*g = g*f$$

2. 结合律:

$$(f*g)*h = f*(g*h)$$

3. 分配律:

$$(f+g)*h = f*h+g*h$$

二. 莫比乌斯反演

1.莫比乌斯函数

$\mu$ 为莫比乌斯函数， 其定义为:

$$\begin{aligned} \mu(n) = \left\{\begin{matrix} 1 & n = 1\\ (-1)^x & \prod_{i = 1}^{x}{k_i = 1}\\ 0 & \max\{ k_i \} \geq 2 \\ \end{matrix}\right. \end{aligned}$$

莫比乌斯函数为积性函数， 并有如下性质

$$\begin{aligned} \mu(d) = \left\{\begin{matrix} 1 & n = 1 \\ 0 & n \neq 1 \\ \end{matrix}\right. \end{aligned}$$

即 $\sum_{d|n}{\mu(d) = \epsilon(n)}， \mu * 1 = \epsilon$

反演结论: $[gcd(i,j) = 1] = \sum_{d|gcd(i,j)}{\mu(d)}$

2.莫比乌斯变换

设 $f(x)$ , $g(x)$ 为两个数论函数。

形式一: 如果有 $f(n) = \sum_{d|n}{g(d)}$ , 那么有 $g(n) = \sum_{d|n}{\mu(d)f(\frac{n}{d})}$

这种形式下，数论函数 $f(n)$ 称为数论函数 $g(n)$ 的莫比乌斯变换，数论函数 $g(n)$ 称为数论函数 $f(n)$ 的莫比乌斯逆变换(反演)。

形式二: 如果有 $f(n) = \sum_{n|d}{g(d)}$ ，那么有 $g(n) = \sum_{n|d}{\mu(\frac{d}{n})f(d)}$

另附

1.常见积性函数

$$\begin{aligned} 1(n) &= 1\\ \epsilon(n) &= [n=1]\\ \sigma_k(n) &= \sum_{i|n}{i^k}\\ id_k(n) &= n^k\\ \varphi(n) &=\sum_i^n[\gcd(i,n)=1]\\ \mu(n) &= \left\{\begin{matrix} 1 & n=1\\ (-1)^x & \prod_{i=1}^x k_i=1\\ 0 & \max\{k_i\}\geq 2 \end{matrix}\right. \end{aligned}$$

2.常见积性函数之间的变换及证明

• $\mu * 1 = \epsilon$

$$\begin{aligned} (\mu*1)(n) &= \sum_{d|n}\mu(d)1(\frac{n}{d})\\ &= \sum_{d|n}\mu(d)\\ &= [n=1]\\ &= \epsilon(n) \end{aligned}$$

• $\phi * 1 = id_1$

$$\begin{aligned} (\varphi*1)(n) &= \sum_{d|n}\varphi(d)1(\frac{n}{d})\\ &= \sum_{d|n}\varphi(d) \end{aligned}$$

考虑枚举 $d$ 表示 $1 \sim n$ 中某个数与 $n$ 的 $gcd$ 为 $d$，那么当 $d∈[1,n]$ 时，得到的 $\sum_i^n{[gcd(i,n)=d]}$ 的和就是 $n$

现在考虑如何求 $\sum_i^n{[gcd(i,n)=d]}$，把 $n$ 拆分成 $n \times\frac{n}{d}$ 的形式，考虑一个满足条件的 $i(i \leqslant n)$，将 $i$ 拆分成 $k \times d$ 的形式，显然有 $k \leqslant \frac{n}{d}$，又因为 gcd(i,n)=d，所以需要满足 k⊥nk，那么满足条件的 i 只会有 φ(nd) 个，所以容易得到

$$\begin{aligned} \sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})&=id_1(n)\\ \because \sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d}) & = \sum_{d|n}\varphi(d)\\ & = (\varphi*1)(n)\\ \therefore(\varphi*1)(n) & = id_1(n) \end{aligned}$$

• $\mu * id_1 = \phi$

设 $f(d)$ 表示 $1 \sim n$ 中与 $n$ 的 $gcd$ 为 $d$ 的个数，$g(d)$ 表示 $1 \sim n$ 中与 $n$ 的 $gcd$ 为 $d$ 的倍数的个数

显然有

$$g(d)=[d|n]\frac{n}{d}$$

由莫比乌斯反演得

$$\begin{aligned} f(g) &= \sum_{g|d}\mu(\frac{d}{g})g(d)\\ &= \sum_{g|d,d|n}\mu(\frac{d}{g})\frac{n}{d}\\ f(1) &= \sum_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d} \end{aligned}$$

容易发现 $f(1)$ 其实就是 $1 \sim n$ 中与 $n$ 互质的个数

$$\begin{aligned} (\mu*id_1)(n) &= \sum_{d|n}\mu(d)1(\frac{n}{d})\\ &= f(1)\\ &= \varphi(n) \end{aligned}$$