洛谷 P5897 - [IOI2013]wombats（决策单调性优化 dp+线段树分块）

题面传送门

首先注意到这次行数与列数不同阶，列数只有 \(200\)，而行数高达 \(5000\)，因此可以考虑以行为下标建线段树，线段树上每个区间 \([l,r]\) 开一个 \(200\times 200\) 的数组 \(d_{i,j}\) 表示从 \((l,i)\) 到 \((r,j)\) 的最短路，合并暴力用类似 floyd 的方式进行转移，这样暴力时间复杂度是 \(RC^3+mC^2\log R+q\)，空间复杂度 \(RC^2\)，其中 \(m\) 为修改次数，一脸无法通过，而且 TL ML 双开花（大雾。

考虑优化这个暴力，由于线段树建树就有个 \(R\)，因此这个 \(R\) 是去不掉的，要优化也只能把这个 \(c^3\) 优化掉。注意到一件事情，就是当我们固定上端点（\(i\)）时，随着 \(j\) 的增大，\(d_{i,j}\) 的决策点是单调不降的，因为如果出现某个 \(d_{i,j}\) 的决策点 \(p\) 小于 \(d_{i,j+1}\) 的决策点 \(q\)，否则 \(i\to j\) 与 \(i\to j+1\) 的最短路径一定有个交点 \(P\)，且这个 \(P\) 一定在 \([l,r]\) 中后方（\(>\dfrac{l+r}{2}\)），因此 \(i\to j\) 和 \(i\to j+1\) 这两个最优路径在 \(i\to P\) 的部分不重合，如果这两段长度相等那么我们可以把它们交换一下，答案不变却满足决策点单调性，否则我们完全可以把长度小的一段并到长度大的一段上去，答案更优。对于固定下断点的情况也同理，因此假设 \(p_{i,j}\) 为 \(d_{i,j}\) 的决策点，那么有 \(p_{i-1,j}\le p_{i,j}\le p_{i,j+1}\)，决策单调性优化一下可以搞到 \(c^2\)。

这样 TL 倒是 ok 了，可 ML 还是会炸，这里又有一个 trick，我们设一个阈值 \(B\) 当区间长度很小，不超过 \(B\) 时候，直接暴力枚举起点 \(dp\) 求出最短路径即可，这样暴力 DP 复杂度是 \(BC^2\) 的，而我们建树时会 DP \(\dfrac{R}{B}\) 次，每次修改都会 DP 一次，因此空间复杂度是 \(\dfrac{R}{B}C^2\)，时间复杂度 \(RC^3+mC^2\log R+q+mBC^2\)，刚好卡过去。

据说这东西有个名字叫线段树分块？长见识了（

const int MAXN=5e3;
const int MAXC=200;
const int MAXP=MAXN*4/20;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,hor[MAXN+5][MAXC+5],ver[MAXN+5][MAXC+5];
struct value{
	int a[MAXC+5][MAXC+5];
	value(){memset(a,63,sizeof(a));}
};
int p[MAXC+5][MAXC+5];
value merge(value a,value b,int vx){
	value c;memset(p,0,sizeof(p));
	for(int i=1;i<=m;i++) for(int j=m;j;j--){
		for(int k=((p[i-1][j])?(p[i-1][j]):1);k<=((p[i][j+1])?p[i][j+1]:m);k++)
			if(c.a[i][j]>a.a[i][k]+b.a[k][j]+ver[vx][k])
				c.a[i][j]=a.a[i][k]+b.a[k][j]+ver[vx][k],p[i][j]=k;
	} return c;
}
struct node{int l,r;value v;} s[MAXP+5];
int dp[MAXN+5][MAXC+5];
value get(int u,int d){
	value res;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=u;j<=d;j++) for(int k=1;k<=m;k++) dp[j][k]=INF;
		dp[u][i]=0;
		for(int j=u;j<=d;j++){
			if(j!=u) for(int k=1;k<=m;k++) dp[j][k]=dp[j-1][k]+ver[j-1][k];
			for(int k=2;k<=m;k++) chkmin(dp[j][k],dp[j][k-1]+hor[j][k-1]);
			for(int k=m-1;k;k--) chkmin(dp[j][k],dp[j][k+1]+hor[j][k]);
		} 
//		for(int j=u;j<=d;j++) for(int k=1;k<=m;k++) printf("%d%c",dp[j][k]," \n"[k==m]);
		for(int j=1;j<=m;j++) res.a[i][j]=dp[d][j];
	} return res;
}
void build(int k,int l,int r){
	s[k].l=l;s[k].r=r;if(r-l<=20) return s[k].v=get(l,r),void();
	int mid=l+r>>1;build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);
	s[k].v=merge(s[k<<1].v,s[k<<1|1].v,mid);
}
void modify(int k,int x){
	if(s[k].r-s[k].l<=20) return s[k].v=get(s[k].l,s[k].r),void();int mid=s[k].l+s[k].r>>1;
	(x<=mid)?modify(k<<1,x):modify(k<<1|1,x);s[k].v=merge(s[k<<1].v,s[k<<1|1].v,mid);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<m;j++) scanf("%d",&hor[i][j]);
	for(int i=1;i<n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&ver[i][j]);
	build(1,1,n);int qu;scanf("%d",&qu);
	while(qu--){
		int opt;scanf("%d",&opt);
		if(opt==1){
			int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
			++x;++y;hor[x][y]=z;modify(1,x);
		} else if(opt==2){
			int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
			++x;++y;ver[x][y]=z;modify(1,x);
		} else {
			int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);++x;++y;
			printf("%d\n",s[1].v.a[x][y]);
		}
	}
	return 0;
}