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斐波那契数列性质整理

WC 考了道与斐波那契数列有关的题，当时说要整理来着的？竟鸽到了现在

斐波那契数列的递推式：Fi={ii≤1Fi−1+Fi−2i≥2，没啥好说的。

它的生成函数为 11−x−x2

通过这个可以推导出它的通项公式 Fi=1√5((1+√52)n−(1−√52)n)，当然也可以通过特征根方程求出。

值得注意的一点是 5 在模 998244353,109+7 时都没有二次剩余，但在模 109+9 意义下有二次剩余，为 383008016，所以在组合题中看到斐波那契数列与 109+9 一般是套通项公式了。

斐波那契数列还有一些其它性质：

  1. n∑i=1Fi=Fn+2−1
  2. n∑i=1F2i=FnFn+1
  3. n∑i=1F2i−1=F2n
  4. n∑i=1F2i=F2n+1−1
  5. Fn=Fn−mFm−1+Fn−m+1Fm
  6. Fn−1Fn+1=F2n+(−1)n

性质 1~4 的证明都很容易而且证明方式都比较类似，这里拿性质 2 举例，考虑数学归纳法，当 n=1 时命题显然成立，假设 n=k 时命题成立，那么 k+1∑i=1F2i=F2k+1+k∑i=1F2i=F2k+1+FkFk+1=Fk+1(Fk+Fk+2)=Fk+1Fk+2，故 n=k+1 时命题也成立，故原命题成立！

性质 5 的证明还是数学归纳法，考虑对 m 进行归纳，当 m=1 时 LHS=Fn=RHS，假设 m=k 时候命题成立，下证 m=k+1 时候命题成立，即证明 Fn=Fn−k−1Fk+Fn−kFk+1。

LHS=Fn=Fn−kFk−1+Fn−k+1Fk=Fn−kFk−1+(Fn−k+Fn−k−1)Fk=Fn−kFk−1+Fn−kFk+Fn−k−1Fk=Fn−k(Fk−1+Fk)+Fn−k−1Fk=Fn−kFk+1+Fn−k−1Fk=RHS

故 m=k+1 时候命题成立，故原命题成立。

性质 6 的证明还是数学归纳法，当 n=1 时命题显然成立，假设 n=k 时命题成立，那么：

FkFk+2=Fk(Fk+Fk+1)=F2k+FkFk+1=Fk−1Fk+1−(−1)k+FkFk+1=Fk+1(Fk−1+Fk)+(−1)k+1=F2k+1+(−1)k+1

故 n=k+1 时命题成立，故原命题成立。

斐波那契数列还有几个与数论相关的性质：

  1. gcd

    证明：考虑反证法，假设 d=\gcd(F_iF_{i+1})>1，设 F_i=ad,F_{i+1}=bd，则 F_{i-1}=F_{i+1}-F_{i}=(b-a)d，F_{i-2}=(2a-b)d，以此类推可得 F_1 也是 d 的整数倍，而 F_1=1，矛盾！故原命题成立。

  2. \gcd(F_x,F_y)=F_{\gcd(x,y)}

    不妨设 x>y，根据上面的性质 5 可知 F_x=F_{x-y}F_{y-1}+F_{x-y+1}F_y，故 \gcd(F_x,F_y)=\gcd(F_{x-y}F_{y-1}+F_{x-y+1}F_y,F_y)，而 F_{x-y+1}F_y 为 F_y 的倍数，\gcd(F_{y-1},F_y)=1，故 \gcd(F_x,F_y)=\gcd(F_{x-y},F_y)，这……不就辗转相除法吗？故 \gcd(F_x,F_y)=F_{\gcd(x,y)}
    推论：若 x\mid y，那么 F_x|F_y

posted @   tzc_wk  阅读(1074)  评论(2)  编辑  收藏  举报
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