Dilworth 定理
rt，刷 AC 自动机的我刷到了道毒瘤题，就来学这个东西了。
首先在学这个定理之前需有一些离散数学的基础。
传递闭包
对于某个集合 \(S\) 我们有定义在集合上的二元关系 \(R\)。
我们在 \(S\) 上还定义了一个二元关系 \(T\)，若关系 \(T\) 满足 \(\forall x,y\in S\)，\(xTy\to\exist x_0=x,x_1,x_2,\dots,x_k=y\) 使得 \(x_iRx_{i+1}(0\leq i<k)\) 均成立，那么就称关系 \(T\) 为关系 \(R\) 的传递闭包。
显然对于图 \(G=(V,E)\)，若我们把 \(S\) 视作 \(G\) 的点集 \(V\)，对于 \(x,y\in V\)，\(xRy\) 为真当且仅当存在 \(x\to y\) 的边，那么 \(R\) 的传递闭包 \(T\) 定义为：\(xTy\) 为真当且仅当存在 \(x\to y\) 的路径。
求传递闭包的方式非常容易，直接 \(n^3\) 跑遍 floyd 就行了。
偏序关系
对于集合 \(A\)，若定义在集合 \(A\) 上的关系 \(R\) 满足：
- 自反性，\(\forall x\in A\) 都有 \(xRx\)
- 反对称性，\(\forall x,y\in A\)，若 \(xRy,yRx\) 则 \(x=y\)
- 传递性，\(\forall x,y,z\in A\)，若 \(xRy,yRz\) 则 \(xRz\)
则称 \(R\) 为定义在 \(A\) 上的非严格偏序关系，记作 \(\preccurlyeq\)，可以把它理解为小于等于，但又不等于传统意义上的小于等于。
同理我们这样定义严格偏序，对于集合 \(A\)，若定义在集合 \(A\) 上的关系 \(R\) 满足：
- 反自反性，\(\forall x\in A\)，\(xRx\) 都不成立
- 非对称性，\(\forall x,y\in A\)， \(xRy\) 都不成立
- 传递性，\(\forall x,y,z\in A\)，若 \(xRy,yRz\) 则 \(xRz\)
则称 \(R\) 为定义在 \(A\) 上的非严格偏序偏序关系，记作 \(\prec\)。
容易看出偏序集与有向无环图有着自然的联系，设图 \(G=(V,E)\) 满足 \(V=A,E=\{(x,y)|x\prec y,x,y\in A\}\)，那么 \(G\) 为一张有向无环图，其传递闭包就是其本身。
以上两种关系统称为偏序关系。若集合 \(A\) 上定义了一个偏序 \(R\)，则 \(A\) 和偏序 \(R\) 为偏序集，记作 \((A,R)\)。
容易推导得出以下结论：
- 若集合 \(A\) 上定义了一个非严格偏序 \(\preccurlyeq\)，那么可以自然地推导出严格偏序 \(\prec\)，\(a\prec b\) 当且仅当 \(a\preccurlyeq b\) 且 \(a\neq b\)
- 若集合 \(A\) 上定义了一个严格偏序 \(\prec\)，那么可以自然地推导出非严格偏序 \(\preccurlyeq\)，\(a\preccurlyeq b\) 当且仅当 \(a\prec b\) 或 \(a=b\)
- 给定集合 \(A\) 上的一个非严格偏序 \(\preccurlyeq\)，那么其逆关系 \(\succcurlyeq\) 也是非严格偏序。
- 给定集合 \(A\) 上的一个严格偏序 \(\prec\)，那么其逆关系 \(\succ\) 也是严格偏序。
全序是一种特殊的偏序关系，在偏序关系的定义中只要求部分元素可比，而全序关系要求 \(\forall x,y\in A\) 都有 \(xRy\) 或 \(yRx\)，即任意两个元素都可比。
下面举几个例子吧：
- 定义在实数集 \(\mathbb{R}\) 上的 \(\leq\) 显然是一种偏序关系，这个偏序同时也是全序。
- 定义在 \(\mathbb{N}*\) 上的整除（\(\mid\)）运算也是一种偏序关系，但这个偏序不是全序。
- 定义在复数集 \(\mathbb{C}\) 上的 \(\leq\) 显然是一种偏序关系，但这个偏序不是全序。
- 对于集合 \(S\) 的两个子集 \(S_1,S_2\subseteq S\)，\(S_1\leq S_2\Rightarrow S_1\subseteq S_2\)，则 \((T=\{S'|S'\subseteq T\},\leq)\) 是一种偏序关系，但这个偏序不是全序。
Dilworth 定理
终于（快要）进入正题了。
对于偏序集 \((A,R)\)，我们做出如下定义：
- 集合 \(A'\subseteq A\) 为偏序集的一个链当且仅当 \(\forall x,y\in A'\) 都有 \(xRy\) 或 \(yRx\)。
- 集合 \(A'\subseteq A\) 为偏序集的一个反链当且仅当 \(\forall x,y\in A',xRy\) 和 \(yRx\) 都不成立。
- 一个链的集合 \(S=\{S_1,S_2,\dots,S_k\}\) 为偏序集的链覆盖，当且仅当 \(S_1,S_2,\dots,S_k\) 均为链且 \(\forall x\in A,\exist i\in[1,k]\) 使得 \(x\in S_i\)。该链覆盖的大小为 \(k\)
Dilworth 定理说的是这样一件事：一个偏序集的最大反链大小等于其最小链覆盖。
如果你前面偏序集的定义没搞懂，那么你可以这样理解这个定理：对于满足 \(\forall u,v,w\in V,(u,v),(v,w)\in E\Rightarrow (u,w)\in E\) 的图 \(G=(V,E)\)，有 \(G\) 的最大独立集等于 \(G\) 的最小可相交路径覆盖。
证明：考虑第二数学归纳法，假设当 \(|A|\leq m\) 时候命题成立，下证 \(|A|=m+1\) 时命题成立。
考虑 \(A\) 中的一个极大元 \(x\)（\(\forall y\in A\)，若 \(x,y\) 可比则都有 \(xRy\)），设 \(A'=A-\{x\}\)，由归纳假设 \(A'\) 中最大反链大小等于最小链覆盖，假设其大小都为 \(k\)。
假设 \(A'\) 可划分为 \(k\) 个链 \(\{C_1,C_2,\dots,C_k\}\)，\(A'\) 中大小为 \(k\) 的反链有 \(r\) 个，分别为 \(S_1,S_2,\dots,S_r\)。
那么显然 \(S_i\) 是在 \(k\) 条链中各取一个元素（否则假设 \(\exist x,y\in S_i\) 且 \(x,y\) 在同一条链中，那么 \(x,y\) 必然可比，矛盾），不妨设 \(s_{i,j}\) 为满足 \(u\in S_i,u\in C_j\) 的 \(u\)。再记集合 \(B=\{\max(s_{i,1}),\max(s_{i,2}),\cdots,\max(s_{i,k})\}\)，即对于每条链，这条链上被包含在这 \(r\) 个大小为 \(k\) 的反链中的元素中大小最大的那个组成的集合（注意，由于所有这样的点都在同一条链上，故它们两两之间都是可比的，因此也有了“最大值”的定义）
那么 \(B\) 为一个长度为 \(k\) 的反链（否则假设 \(\exist b_i,b_j\in B\) 满足 \(b_iRb_j\)，那么根据 \(b_j=\max(s_{l,j})\) 就有 \(b_iRs_{1,j},b_iRs_{2,j},\dots,b_iRs_{r,j}\)，而设 \(b_i=s_{t,i}\)（\(b_i\) 是第 \(t\) 个反链在第 \(i\) 条链上选出的点），根据反链的定义有 \(b_i\) 与 \(s_{t,j}\) 不可比，矛盾！
现在考虑加入一个元素 \(\{x\}\) 对答案的影响。
- 若 \(\forall y\in B\) 都有 \(x,y\) 不可比，那么 \(B'=B\cup\{x\}\) 为一条长度为 \(k+1\) 的反链，而加入一个元素，最大反链长度和最小链覆盖大小最少变化 \(0\)，至多变化 \(1\)，故 \(S\) 最大反链大小就是 \(k+1\)，最小链覆盖大小至少为 \(k\)，至多为 \(k+1\)，而假设最小链覆盖大小为 \(k\)，那么由于反链 \(B'\) 大小为 \(k+1\)，根据抽屉原理知 \(\exist u,v\in B'\) 满足 \(u,v\) 被划分到了同一条链中，矛盾。
（ycx 你说我有多大概率“矛盾”后加“。”或“！”，现在知道了吧），那么最小链覆盖大小就是 \(k+1\)。 - 若 \(\exist y\in B\) 使得 \(x,y\) 可比，那么由 \(x\) 为极大元可知 \(xRy\)，而 \(B\) 为反链可知这样的 \(y\) 最多只有一个，假设 \(y\in C_j\)，那么考虑集合 \(D=\{s_{1,j},s_{2,j},\dots,s_{r,j},x\}\)，再记 \(T=S-D\)，那么 \(T\) 的最大反链大小为 \(k-1\)（因为 \(S\) 中所有大小为 \(k\) 的反链都被抠掉了一个元素，而大小为 \(k-1\) 的反链显然存在），由归纳假设 \(T\) 的最小链覆盖大小也为 \(k-1\)，而 \(D\) 显然为一条链，故 \(S\) 的最小链覆盖大小为 \(k\)，得证。
故 \(|A|=m+1\) 时命题成立。
而 \(|A|\leq 1\) 命题显然成立。
根据数学归纳法知命题成立！
