PAT 1007 素数对猜想

EPZ11·2020-02-16 13:06·244 次阅读

PAT 1007 素数对猜想

PAT 1007 素数对猜想

题目:#

让我们定义dn为:dn=pn+1−pn,其中pi是第i个素数。显然有d1=1,且对于n>1有dn是偶数。“素数对猜想”认为“存在无穷多对相邻且差为2的素数”。

现给定任意正整数N(<105),请计算不超过N的满足猜想的素数对的个数。

输入格式:#

输入在一行给出正整数N

输出格式:#

在一行中输出不超过N的满足猜想的素数对的个数。

输入样例:#

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20

输出样例:#

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4

代码:#

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#include <iostream> #include <vector> #include <cmath> using namespace std; #include <iostream> #include <vector> #include <cmath> using namespace std; bool is_prime( unsigned long long num ) { //两个较小数另外处理 if(num ==2|| num==3 ) return true ; //不在6的倍数两侧的一定不是质数 if(num %6!= 1&&num %6!= 5) return false ; unsigned long long tmp =sqrt( num); //在6的倍数两侧的也可能不是质数 for(int i= 5;i <=tmp; i+=6 ) if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0 ) return false; //排除所有,剩余的是质数 return true ; } int main() { int input,len,paret = 0; int div; vector<int> primeNum; cin>>input; for(int i = 1;i <= input;++i){ if(is_prime(i)){ primeNum.push_back(i); } } len = primeNum.size(); for(int i = 0;i < len - 1;++i){ div = primeNum[i+1] - primeNum[i]; if(div == 2) paret++; } cout<<paret; return 0; } int main() { int input,len,paret = 0; int div; vector<int> primeNum; cin>>input; for(int i = 1;i <= input;++i){ if(is_prime(i)){ primeNum.push_back(i); } } len = primeNum.size(); for(int i = 0;i < len - 1;++i){ div = primeNum[i+1] - primeNum[i]; if(div == 2) paret++; } cout<<paret; return 0; }

解析:#

将输入的数据判断,把素数放入到数组内,计算二者差即可.难点在于素数的判断.

素数判断方法如下:#

首先看一个关于质数分布的规律:大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7,11和13,17和19等等;

  证明:令x≥1,将大于等于5的自然数表示如下:····· 6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5,6(x+1),6(x+1)+1 ······可以看到,不在6的倍数两侧,即6x两侧的数为6x+2,6x+3,6x+4,由于2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),所以它们一定不是素数,再除去6x本身,显然,素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。这里要注意的一点是,在6的倍数相邻两侧并不是一定就是质数。此时判断质数可以6个为单元快进,加快判断速度,原因是,假如要判定的数为n,则n必定是6x-1或6x+1的形式,对于循环中6i-1,6i,6i+1,6i+2,6i+3,6i+4,其中如果n能被6i,6i+2,6i+4整除,则n至少得是一个偶数,但是6x-1或6x+1的形式明显是一个奇数,故不成立;另外,如果n能被6i+3整除,则n至少能被3整除,但是6x能被3整除,故6x-1或6x+1(即n)不可能被3整除,故不成立。综上,循环中只需要考虑6i-1和6i+1的情况,即循环的步长可以定为6,每次判断循环变量k和k+2的情况即可。

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bool isPrime( int num ) { //两个较小数另外处理 if(num ==2|| num==3 ) return true ; //不在6的倍数两侧的一定不是质数 if(num %6!= 1&&num %6!= 5) return false ; int tmp =sqrt( num); //在6的倍数两侧的也可能不是质数 for(int i= 5;i <=tmp; i+=6 ) if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0 ) return false; //排除所有,剩余的是质数 return true ; }

引用自https://www.cnblogs.com/smile233/p/8776689.html

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