P2766 最长不下降子序列问题
«问题描述:
给定正整数序列x1,…,xn 。
(1)计算其最长不下降子序列的长度s。
(2)计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为s的不下降子序列。
(3)如果允许在取出的序列中多次使用x1和xn,则从给定序列中最多可取出多少个长度为s的不下降子序列。
«编程任务:
设计有效算法完成(1)(2)(3)提出的计算任务。
输入格式
第1 行有1个正整数n,表示给定序列的长度。接下来的1 行有n个正整数n:x1, …, xn。
输出格式
第1 行是最长不下降子序列的长度s。第2行是可取出的长度为s 的不下降子序列个数。第3行是允许在取出的序列中多次使用x1和xn时可取出的长度为s 的不下降子序列个数。
输入输出样例
输入
4
3 6 2 5
输出
2
2
3
说明/提示
n≤500n≤500
第一问用dp求解,得到长度为maxn
第二问,根据dp得到的结果建图
具体想法是参考了别人的题解。
我的程序里
d
p
[
i
]
dp[i]
dp[i] 代表以
i
i
i 为结束点的最长长度为多少
如果
d
p
[
i
]
=
=
1
dp[i]==1
dp[i]==1 表明
i
i
i 是起始点,所以把它和源点
s
s
s 连起来,容量为1
如果
d
p
[
i
]
=
=
m
a
x
n
dp[i]==maxn
dp[i]==maxn 表明
i
i
i 是终点,所以把它和汇点
t
t
t 连起来,容量为1
如果 j < i j<i j<i,且 a [ i ] > = a [ j ] a[i]>=a[j] a[i]>=a[j], d p [ i ] = d p [ j ] + 1 dp[i] = dp[j] + 1 dp[i]=dp[j]+1 ,则连一条边从 i i i 到 j j j。
为了满足第二问的条件,每个点只用一次,把除了源点 s s s 和汇点 t t t 的点拆成两个点, i i i 连接所有连出去的边, i + n i+n i+n 连接所有连入的边,再连一条从 i + n i+n i+n 到 i i i 的边,容量为1。
然后从 s s s 开始跑最大流,得到的结果就是 L I S LIS LIS 的数量
第三问,可以多次使用 x 1 x1 x1 和 x n xn xn 点,所以我们把 < s , 1 > < 1 + n , 1 > < n , t > < n + n , n > <s,1><1+n,1><n,t><n+n,n> <s,1><1+n,1><n,t><n+n,n>边的容量改为 i n f inf inf,再跑一次最大流就可以得到答案
超级巧妙的建图方法,相当于把所有可能的 L I S LIS LIS 都列出来,让网络流去找最多的LIS。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
const int bs = 500;
const int inf = 2147483647;
int a[N],dp[N];
struct node{
int u,v,w,nx;
}edge[N * N];
int tot = 1,head[N],s = 1001,t = 1002;
inline void add(int u,int v,int w)
{
edge[++tot].u = u;
edge[tot].v = v;
edge[tot].w = w;
edge[tot].nx = head[u];
head[u] = tot;
}
int dis[N];
bool bfs()
{
memset(dis,-1,sizeof(dis));
queue<int> q;
q.push(s);
dis[s] = 0;
while (!q.empty())
{
int u = q.front();
q.pop();
for (int i = head[u];i;i = edge[i].nx)
{
int v = edge[i].v;
if (dis[v] == -1 && edge[i].w > 0)
{
q.push(v);
dis[v] = dis[u] + 1;
}
}
}
return dis[t] != -1;
}
int dfs(int u,int exp)
{
if (u == t) return exp;
int flow = 0,tmp = 0;
for (int i = head[u];i;i = edge[i].nx)
{
int v = edge[i].v;
if (dis[v] == dis[u] + 1 && edge[i].w > 0)
{
tmp = dfs(v,min(exp,edge[i].w));
if (!tmp) continue;
edge[i].w -= tmp;
flow += tmp;
exp -= tmp;
edge[i^1].w += tmp;
if (!exp) break;
}
}
return flow;
}
int dinic()
{
int ans = 0;
while (bfs()) ans += dfs(s,inf);
return ans;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for (int i = 1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
int maxn = 0;
//dp求解LIS的最长长度
for (int i = 1;i<=n;i++)
{
dp[i] = 1;
for (int j = 1;j<i;j++)
{
if (a[j] <= a[i]) dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);
}
maxn = max(maxn,dp[i]);
}
printf("%d\n",maxn);
//回答第二问
//建图
for (int i = 1;i<=n;i++)
{
if (dp[i] == maxn) add(i,t,1),add(t,i,0);
if (dp[i] == 1) add(s,i+bs,1),add(i+bs,s,0);
add(i+bs,i,1);
add(i,i+bs,0);
for (int j = 1;j<i;j++)
{
if (a[j] <= a[i] && dp[j] + 1 == dp[i])
{
add(j,i+bs,1);
add(i+bs,j,0);
}
}
}
cout<<dinic()<<'\n';//网络流模板
//修改<s,1><1+n,1><n,t><n+n,n>4条边为inf
for (int i = 2;i<=tot;i+=2)
{
edge[i].w = 1;
if (edge[i].u == s && edge[i].v == 1 + bs) edge[i].w = inf;
if (edge[i].u == 1+bs && edge[i].v == 1) edge[i].w = inf;
if (edge[i].u == n+bs && edge[i].v == n) edge[i].w = inf;
if (edge[i].u == n && edge[i].v == t) edge[i].w = inf;
edge[i^1].w = 0;
}
cout<<dinic()<<'\n';//网络流模板
}
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