BZOJ 1002: [FJOI2007]轮状病毒【生成树的计数与基尔霍夫矩阵简单讲解+高精度】

1002: [FJOI2007]轮状病毒

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Description

　　轮状病毒有很多变种，所有轮状病毒的变种都是从一个轮状基产生的。一个N轮状基由圆环上N个不同的基原子
和圆心处一个核原子构成的，2个原子之间的边表示这2个原子之间的信息通道。如下图所示

　　N轮状病毒的产生规律是在一个N轮状基中删去若干条边，使得各原子之间有唯一的信息通道，例如共有16个不
同的3轮状病毒，如下图所示

　　现给定n(N<=100)，编程计算有多少个不同的n轮状病毒

Input

　　第一行有1个正整数n

Output

　　计算出的不同的n轮状病毒数输出

Sample Input

3

Sample Output

16

HINT

Source

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1002

关于基尔霍夫矩阵：

*算法引入：
*给定一个无向图G，求它生成树的个数t(G);
*
*算法思想：
*(1)G的度数矩阵D[G]是一个n*n的矩阵,并且满足:当i≠j时,dij=0;当i=j时,dij等于vi的度数;
*(2)G的邻接矩阵A[G]是一个n*n的矩阵,并且满足:如果vi,vj之间有边直接相连,则aij=1,否则为0;
*定义图G的Kirchhoff矩阵C[G]为C[G]=D[G]-A[G];
*Matrix-Tree定理:G的所有不同的生成树的个数等于其Kirchhoff矩阵C[G]任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值；
*所谓n-1阶主子式,就是对于r(1≤r≤n),将C[G]的第r行,第r列同时去掉后得到的新矩阵,用Cr[G]表示;

此题推出f[i]=(f[i-1]*3-f[i-2]+2)

下面给出AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline void write(int x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar('-');
        x=-x;
    }
    if(x>9)
    {
        write(x/10);
    }
    putchar(x%10+'0');
}
struct data
{
    int a[101],len;
};
int n;
data mul(data a,int k)
{
    for(int i=1;i<=a.len;i++)
        a.a[i]*=k;
    for(int i=1;i<=a.len;i++)
    {
        a.a[i+1]+=a.a[i]/10;
        a.a[i]%=10;
    }
    if(a.a[a.len+1]!=0)
        a.len++;
    return a;
}
data sub(data a,data b)
{
    a.a[1]+=2;
    int j=1;
    while(a.a[j]>=10)
    {
        a.a[j]%=10;
        a.a[j+1]++;
        j++;
    }
    for(int i=1;i<=a.len;i++)
    {
        a.a[i]-=b.a[i];
        if(a.a[i]<0)
        {
            a.a[i]+=10;
            a.a[i+1]--;
        }
    }
    while(a.a[a.len]==0)
        a.len--;
    return a;
}
int main()
{
    data f[101];f[1].a[1]=1;f[2].a[1]=5;
    f[1].len=f[2].len=1;
    n=read();
    for(int i=3;i<=n;i++)
        f[i]=sub(mul(f[i-1],3),f[i-2]);
    for(int i=f[n].len;i>0;i--)
       write(f[n].a[i]);
    return 0;
}