BZOJ 3097: Hash Killer I【构造题，思维题】

3097: Hash Killer I

Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 128 MBSec  Special Judge
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Description

这天天气不错，hzhwcmhf神犇给VFleaKing出了一道题：
给你一个长度为N的字符串S，求有多少个不同的长度为L的子串。
子串的定义是S[l]、S[l + 1]、... S[r]这样连续的一段。
两个字符串被认为是不同的当且仅当某个位置上的字符不同。

VFleaKing一看觉得这不是Hash的裸题么！于是果断写了哈希 + 排序。
而hzhwcmhf神犇心里自然知道，这题就是后缀数组的height中 < L的个数 + 1，就是后缀自动机上代表的长度区间包含L的结点个数，就是后缀树深度为L的结点的数量。
但是hzhwcmhf神犇看了看VFleaKing的做法表示非常汗。于是想卡掉他。

VFleaKing使用的是字典序哈希，其代码大致如下：
u64 val = 0;
for (int i = 0; i < l; i++)
 val = val * base + s[i] - 'a';
u64是无符号int64，范围是[0, 2^64)。VFleaKing让val自然溢出。
base是一个常量，VFleaKing会根据心情决定其值。
VFleaKing还求出来了base ^ l，即base的l次方，这样就能方便地求出所有长度为L的子串的哈希值。
然后VFleaKing给哈希值排序，去重，求出有多少个不同的哈希值，把这个数作为结果。
其算法的C++代码如下：

typedef unsigned long long u64;

const int MaxN = 100000;

inline int hash_handle(const char *s, const int &n, const int &l, const int &base)
{
 u64 hash_pow_l = 1;
 for (int i = 1; i <= l; i++)
  hash_pow_l *= base;

 int li_n = 0;
 static u64 li[MaxN];

 u64 val = 0;
 for (int i = 0; i < l; i++)
  val = val * base + s[i] - 'a';
 li[li_n++] = val;
 for (int i = l; i < n; i++)
 {
  val = val * base + s[i] - 'a';
  val -= (s[i - l] - 'a') * hash_pow_l;
  li[li_n++] = val;
 }

 sort(li, li + li_n);
 li_n = unique(li, li + li_n) - li;
 return li_n;
}

hzhwcmhf当然知道怎么卡啦！但是他想考考你。

Input

没有输入。

Output

你需要输出一组数据使得VFleaKing的代码WA掉。我们会使用Special Judge检查你的结果的正确性。
输出文件共两行。
第一行两个用空格隔开的数n、l。
第二行是一个长度为n的字符串。只能包含'a'~'z'。
需要保证1 <= n <= 10^5, 1 <= l <= n，
不符合以上格式会WA。
不要有多余字符，很可能导致你WA。

Sample Input

没有

Sample Output

8 4
buaabuaa
（当然这个输出是会WA的）

HINT

orz 波兰人 & fotile96 & sillycross

Source

VFleaKing & hzhwcmhf

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3097

分析：此题乍一眼看没怎么看懂，后来分析了一下，此题为构造题！

非常神奇的构造题。

首先明白两点：

1.卡hash的关键在于构造两个不同的串对应的hash值相同。

2.爆u64相当于对2^64这个数取模。

如果base是偶数，那么a.........aaa(>64个a)与ba.......aa(a的数量为前面那么串a的数量-1)，这两个串长度相同，hash值相同，显然串是不同的，这样就卡掉了。

如果base是奇数，就比较麻烦了。

看vfk的做法吧：

a \ b表示a能整除b。（orz 具体数学）

strA . strB代表字符串串联。如"娃" . "哈哈" = "娃哈哈"

设字符串序列{orzstr[i]}，orzstr[1] = "a", orzstr[i] = orzstr[i - 1] . not(orzstr[i - 1])

设hash(str)为str的哈希值。

hash(orzstr[i]) = hash(orzstr[i - 1]) * base ^ |not(orzstr[i - 1])| + hash(not(orzstr[i - 1]))

                       = hash(orzstr[i - 1]) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(not(orzstr[i - 1]))

hash(not(orzstr[i - 1])) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(orzstr[i - 1])

   hash(orzstr[i]) - hash(not(orzstr[i]))

= (hash(orzstr[i - 1]) - hash(not(orzstr[i - 1]))) * (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1)

hash(not(orzstr[i]))似乎是个神奇的东西。而我们的目的实际上是要找两个字符串strA, strB使得

相当与

设数列{f[i]}，f[i] = hash(orzstr[i]) - hash(not(orzstr[i]))

f[i] = f[i - 1] * (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1)

base ^ (2 ^ (i - 1)) - 1

f[i] = f[i - 1] * g[i - 1]

然后发现一个神奇的事情？

问题是不是结束了呢……发现没有……这样的话我们要使2 ^ 64 \ f[i]，至少得让i = 65……然后发现|orzstr[65]|是个天文数字。

i > 1时有：

base ^ (2 ^ (i - 1)) - 1 = (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1) * (base ^ (2 ^ (i - 2)) + 1) = g[i - 1] * 一个偶数

那么4 \ g[2]，8 \ g[3]...

所以f[i] 实际上有：

2 ^ (i * (i - 1) / 2) \ f[i]

这就是卡base为奇数时的方法。orzstr[12]和not(orzstr[12])即为所求。

 

而读入中base既有奇数又有偶数，直接在奇数构造的字符串后面加64个a就可以了。

下面给出AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[500001];
int main()
{
     int len=1;
     a[1]=1;
     int i;
     while(len<=100000)
     {
          for(i=1;i<=len;i++)
          {
               if(a[i]==1)
                    a[i+len]=0;
               else
                    a[i+len]=1;
          }
          len=len*2;
     }
     printf("100000 10000\n");
     for(i=1;i<=100000;i++)
     {
          if(a[i]==1)
               printf("a");
          else
               printf("b");
     }
     printf("\n");
     return 0;
}