数论部分第二节：埃拉托斯特尼筛法

埃拉托斯特尼筛法

质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。怎么判断n以内的哪些数是质数呢？

埃拉托斯特尼筛法

厄拉多塞是一位古希腊数学家，他在寻找素数时，采用了一种与众不同的方法：先将2－N的各数放入表中，然后在2的上面画一个圆圈，然后划去2的其他倍数；第一个既未画圈又没有被划去的数是3，将它画圈，再划去3的其他倍数；现在既未画圈又没有被划去的第一个数是5，将它画圈，并划去5的其他倍数……依次类推，一直到所有小于或等于N的各数都画了圈或划去为止。这时，表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 N的素数。
如下图所示：

而其实迭代系数i不需要遍历到n-1为止，只需到√(n-1)即可。反证法：

• 如果n-1不是质数，那么n-1可以化解成两个整数因子相乘，n-1=d1×d2。
• 如果d1和d2均大于√(n-1)，则有：n-1＝d1×d2 > √(n-1)×√(n-1)＝n-1
• 则n-1必有因子d1或d2小于等于√(n-1)，从而n-1可以被小于或等于√(n-1)的某整数的遍历到。
• 小于n-1的整数如果是质数必然会被遍历到。

如果N是合数，则一定存在大于1小于N的整数d1和d2，使得N=d1×d2。如果d1和d2均大于√N，则有：N＝d1×d2>√N×√N＝N。而这是不可能的，所以，d1和d2中必有一个小于或等于√N。
代码如下：

public class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        if(n <= 2)
            return 0;
        boolean[] prime = new boolean[n];
        for(int i =2; i < n; ++i) {
            prime[i] = true;
        }
        for(int i = 2; i <= Math.sqrt(n-1); ++i) { //i <= √(n-1) 即可
            if(prime[i]) {
                for(int j = i + i;j < n; j += i) {
                    prime[j] = false;
                }
            }
        }
        int count = 0;
        for(int i = 2; i < n; ++i) {
            if(prime[i])
                count++;
        }
        return count;
    } 
}

其他方法

任何一个自然数，总可以表示成为如下的形式之一：
6N，6N+1，6N+2，6N+3，6N+4，6N+5 (N=0，1，2，…)
N>1时，其中6N，6N+2，6N+3，6N+4必然不是质数，只可能是6N+1或者6N+5，即6N±1。因此可以通过6N±1筛子大量筛减非质数。