图论----同构图(详解)

图论当中的术语，假设G=(V,E)和G1=(V1，E1)是两个图，如果存在一个双射m：V→V1，使得对所有的x,y∈V均有xy∈E等价于m(x)m(y)∈E1，则称G和G1是同构的,这样的一个映射m称之为一个同构，如果G=G1，则称他为一个自同构。

简单来说，同构图的结点数必须相同，结构必须相同。

如图3.6，第一个图形和第二个图形的区别在于环的数量。第一个图形为一个环，第二个为两个环，所以不是同构图。

若删去z1和u1，删去v1和w1，连接z1和w1，成为一个v1u1的链和z1w1x1y1的环，依旧不是同构图，因为必须环数相同，链数相同。

但这还是缺少一个条件，比如图形A存在两个环a1和a2，a1有3个结点，a2有5个结点，图形B也有两个环，b1有4个结点，b2有4个结点，依旧不是同构图，这里的条件就是环上或链上的借点数相同，和结点顺序无关。

 

引入例题，HDU3926-Hand in Hand ，判断两次组成的图形是否是同构图。

思路之一：通过并查集确定环数/链数，和环内/链内的人数，再排序进行比较。

排序时按照人数排序，若人数相同要按照状态排序。注意这几点或许会比较容易过。

请先自己进行尝试，尝试后再参考代码。

    #include<iostream>  
    #include<cstring>  
    #include<cstdio>  
    #include<math.h>  
    #include<vector>  
    #include<algorithm>  
    #include<queue>  
    #include<set>  
    using namespace std;  
    int pre[10100];  
    struct e{  
        int a,b;  
    };  
    e s1[10010];  
    e s2[10010];  
    int find(int x)  
    {  
        while(x!=pre[x])  
            x=pre[x];  
        return x;  
    }  
    int cmp(e a,e b){  
        if(a.a==b.a) return a.b>b.b;  
        else return a.a>b.a;  
    }  
    void init(int n)  
    {  
        for(int i=1;i<=n;i++)  
            pre[i]=i;  
    }  
    int main()  
    {  
        int t,cas=1;;  
        scanf("%d",&t);  
        while(t--)  
        {  
            for(int i=1;i<10010;i++)  
            {  
                s1[i].a=1;s1[i].b=0;  
                s2[i].a=1;s2[i].b=0;//最开始每个都是独立的，默认为链  
            }  
            bool flag=false;  
            int n1,m1,n2,m2;  
      
            scanf("%d%d",&n1,&m1);  
            init(n1);  
            for(int i=0;i<m1;i++)  
            {  
                int a,b;  
                scanf("%d%d",&a,&b);  
                int dx=find(a);  
                int dy=find(b);  
                if(dx!=dy)  
                {  
                    pre[dx]=dy;  
                    s1[dy].a+=s1[dx].a;  
                    s1[dx].a=0;//把拉手的孩子数量加起来，下同  
                }  
                else s1[dy].b=1;//成环  
            }  
      
            scanf("%d%d",&n2,&m2);  
            init(n2);  
            for(int i=0;i<m2;i++)  
            {  
                int a,b;  
                scanf("%d%d",&a,&b);  
                int dx=find(a);  
                int dy=find(b);  
                if(dx!=dy)  
                {  
                    pre[dx]=dy;  
                    s2[dy].a+=s2[dx].a;  
                    s2[dx].a=0;  
                }  
                else s2[dy].b=1;  
            }  
            if(n1==n2){  
      
            sort(s1+1,s1+n1+1,cmp);  
            sort(s2+1,s2+n2+1,cmp);//排序，若孩子的数量相同则对是否是环进行排序，这里要注意  
      
                for(int i=0;i<n1;i++)  
                if(s1[i].a!=s2[i].a||s1[i].b!=s2[i].b) {//判断数量，状态  
                    flag=true;  
                    break;  
                }  
            }  
            if(n1!=n2)    flag=true;  
      
            if(flag) printf("Case #%d: NO\n",cas++);  
            else printf("Case #%d: YES\n",cas++);  
        }  
        return 0;  
    }