完全背包详解

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• f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

 

完全背包：

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

完全背包按其思路仍然可以用一个二维数组来写出：

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f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

同样可以转换成一维数组来表示：

伪代码如下：

?

1 2 3 4 5

<span class="kwd">for</span><span class="pln">  i</span><span class="pun">=</span><span class="lit">1.</span><span class="pun">.</span><span class="pln">N       forv</span><span class="pun">=</span><span class="lit">0.</span><span class="pun">.</span><span class="pln">V           f</span><span class="pun">[</span><span class="pln">v</span><span class="pun">]=</span><span class="pln">max</span><span class="pun">{</span><span class="pln">f</span><span class="pun">[</span><span class="pln">v</span><span class="pun">],</span><span class="pln">f</span><span class="pun">[</span><span class="pln">v</span><span class="pun">-</span><span class="pln">c</span><span class="pun">[</span><span class="pln">i</span><span class="pun">]]+</span><span class="pln">w</span><span class="pun">[</span><span class="pln">i</span><span class="pun">]}</span>

 

 

 

 

顺序！

想必大家看出了和01背包的区别，这里的内循环是顺序的，而01背包是逆序的。
现在关键的是考虑：为何完全背包可以这么写？
在次我们先来回忆下，01背包逆序的原因？是为了是max中的两项是前一状态值，这就对了。
那么这里，我们顺序写，这里的max中的两项当然就是当前状态的值了，为何？
因为每种背包都是无限的。当我们把i从1到N循环时，f[v]表示容量为v在前i种背包时所得的价值，这里我们要添加的不是前一个背包，而是当前背包。所以我们要考虑的当然是当前状态。