利用向量积（叉积）计算三角形的面积和多边形的面积

利用向量积（叉积）计算三角形的面积和多边形的面积：

向量的数量积和向量积：

（1）  向量的数量积

 

（1）  向量的向量积

两个向量a和b的叉积（向量积）可以被定义为：

在这里θ表示两向量之间的角夹角（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量 所定义的平面上。

向量积的模（长度）可以解释成以a和b为邻边的平行四边形的面积。求三角形ABC的面积，根据向量积的意义，得到：

a=a_xi+a_yj+a_zk;

b=b_xi+b_yj+b_zk;

a×b=(a_yb_z-a_zb_y)i+(a_zb_x-a_xb_z)j+(a_xb_y-a_yb_x)k,为了帮助记忆，利用三阶行列式，写成：

计算任意多边形的面积：（顶点按逆时针顺序排列）

求多边形面积最基础的方法就是用剖分法来做的，就是把多边形分成若干个三角形，然后对每个三角形求面积，求面积，在有精度要求的情况下，不要用海伦-秦九昭公式，海伦公式可能在精度损失方面会比较严重，而且计算量很大。

最适合解决任意多边形面积的方法是：向量积法。

顶点为P_k(k=1,2,3…n)的多边形，其顶点坐标分别为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)…(x_n,y_n)。

在计算几何里，我们知道，△ABC的面积就是“向量AB”和“向量AC”两个向量叉积的绝对值的一半。其正负表示三角形顶点是在右手系还是左手系。

 

 

hdu 2036:改革春风吹满地（叉积求凸多边形面积）

改革春风吹满地

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 16308    Accepted Submission(s): 8316

Problem Description

“ 改革春风吹满地,不会AC没关系;实在不行回老家，还有一亩三分地。谢谢!（乐队奏乐）”话说部分学生心态极好，每天就知道游戏，这次考试如此简单的题目，也是云里雾里，而且，还竟然来这么几句打油诗。好呀，老师的责任就是帮你解决问题，既然想种田，那就分你一块。这块田位于浙江省温州市苍南县灵溪镇林家铺子村，多边形形状的一块地，原本是linle 的，现在就准备送给你了。不过，任何事情都没有那么简单，你必须首先告诉我这块地到底有多少面积，如果回答正确才能真正得到这块地。发愁了吧？就是要让你知道，种地也是需要AC知识的！以后还是好好练吧...

 

 

Input

输入数据包含多个测试实例，每个测试实例占一行，每行的开始是一个整数n(3<=n<=100)，它表示多边形的边数（当然也是顶点数），然后是按照逆时针顺序给出的n个顶点的坐标（x1, y1, x2, y2... xn, yn）,为了简化问题，这里的所有坐标都用整数表示。输入数据中所有的整数都在32位整数范围内，n=0表示数据的结束，不做处理。

 

 

Output

对于每个测试实例，请输出对应的多边形面积，结果精确到小数点后一位小数。每个实例的输出占一行。

 

 

Sample Input

  3 0 0 1 0 0 1
  4 1 0 0 1 -1 0 0 -1
  0

Sample Output

0.5
2.0

思路

s=S123+S134+S145+S156+S167+S178
 >在坐标系下，三角形面积公式如下。可按向量思路。
S=(double)(x2*y3+x1*y2+x3*y1-x3*y2-x2*y1-x1*y3)/2.0;

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,x1,x2,x3,y1,y2,y3,i;
    double s;
    int x[100];
    int y[100];
    while(scanf("%d",&n)&&n)
    {
        s=0;
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&x[i]);
            scanf("%d",&y[i]);
        }
        x1=x[0];
        y1=y[0];
        for(i=1;i<n-1;i++)
        {
            x2=x[i];
            y2=y[i];
            x3=x[i+1];
            y3=y[i+1];
            s+=(double)(x1*y2+x2*y3+x3*y1-x3*y2-x2*y1-x1*y3)/2.0;
        }
        printf("%.1lf\n",s);
    }
    return 0;
}