勾股数学习

勾股数又名毕氏三元数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。

 

 

编辑本段常用套路

简介

所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。

即a2+b2=c2,a,b,c∈N

又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：

第一套路

当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：

n=1时(a,b,c)=(3,4,5)

n=2时(a,b,c)=(5,12,13)

n=3时(a,b,c)=(7,24,25)

... ...

这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。

第二套路

2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1

也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：

n=3时(a,b,c)=(6,8,10)

n=4时(a,b,c)=(8,15,17)

n=5时(a,b,c)=(10,24,26)

n=6时(a,b,c)=(12,35,37)

... ...

这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。

所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如：

n=2时(a,b,c)=(8,15,17)

n=3时(a,b,c)=(12,35,37)

n=4时(a,b,c)=(16,63,65)

... ...

编辑本段公式证明

证明

a=2mn

b=m^2-n^2

c=m^2+n^2

证：

假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）

如果a,b均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k

等式化为4k^2 = (c+b)(c-b)

显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾）

作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数

现在往证：(M,N)=1

如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾

所以(M,N)=1得证。

依照算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数

如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾　所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方数。

设M = m^2, N = n^2

从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得c=m^2+n^2, b=m^2-n^2, 从而a=2mn

局限

目前，关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式计算出来。

编辑本段完全公式

完全公式

a=m，b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2 ①

其中m ≥3

⒈ 当m确定为任意一个 ≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m的因子}

⒉ 当m确定为任意一个 ≥4的偶数时，k={m^2 / 2的所有小于m的偶数因子}

基本勾股数与派生勾股数可以由完全一并求出。例如，当m确定为偶数432时，因为k={432^2 / 2的所有小于432的偶数因子}= {2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}，将m=432及24组不同k值分别代入b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2；即得直角边a=432时，具有24组不同的另一直角边b和斜边c，基本勾股数与派生勾股数一并求出。而勾股数的组数也有公式能直接得到。

组数N

算术基本定理：一个大于1的正整数n，如果它的标准分解式为n=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，那么它的正因数个数为N=(m1+1)×(m2+1)×……×(mr+1)；依据定理，易得以下结论

当a给定时，不同勾股数组a，b，c的组数N等于①式中k的可取值个数

⒈ 取奇数a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={1，a^2的所有小于a的因子}，则k的可取值个数：

N=[(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2

⒉ 取偶数a=2^m0×p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={a^2 / 2的所有小于a的偶数因子}，则k的可取值个数：

N=[(2m0－1)×(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2

其中，p1，p2，……，pr为互不相同的奇素数，m0，m1，……，mr为幂指数。

编辑本段整数勾股数

常见勾股数

3，4，5 ： 勾三股四弦五

5，12，13 ： 5·12记一生（13）

6，8，10： 连续的偶数

8，15，17 ： 八月十五在一起（17）

特殊勾股数

连续的勾股数只有3，4，5

连续的偶数勾股数只有6，8，10

20以内

3 4 5；5 12 13； 6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82

20-40

20 21 29；20 48 52；21 28 35；21 72 75；24 32 40；24 45 51；24 70 74；25 60 65；27 36 45；28 45 53；30 40 50；30 72 78；32 60 68；33 44 55；33 56 65；35 84 91；36 48 60；36 77 85；39 52 65；39 80 89；40 42 58；40 75 85 ；40 96 104

40-100

42 56 70 ； 45 60 75 ； 48 55 73 ； 48 64 80 ； 48 90 102 ； 51 68 85 ；

54 72 90 ； 56 90 106 ； 57 76 95 ； 60 63 87 ； 60 80 100 ；

60 91 109 ； 63 84 105 ； 65 72 97 ； 66 88 110 ； 69 92 115 ；

72 96 120 ； 75 100 125 ； 80 84 116 ；