KM算法

两个不错的介绍KM算法的文章：

1：
http://www.cppblog.com/MatoNo1/archive/2011/07/23/151724.aspx

2：

KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点X_i的顶标为A[i]，顶点Y_i的顶标为B[i]，顶点X_i与Y_j之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立。KM算法的正确性基于以下定理：
　　若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
　　这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
　　初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]为所有与顶点X_i关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
　　我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：

两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。
X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。
X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

　　现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|X_i在交错树中，Y_i不在交错树中}。

　　以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n⁴)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n²)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n³) 的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的slack值都减去d。

模板对应http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2255

　O(N^4)模板：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define maxn 301
using namespace std;

const int inf = 99999999;
int w[maxn][maxn],link[maxn];
int lx[maxn],ly[maxn];//记录顶标
bool vtx[maxn],vty[maxn];//记录X,Y点集是否被访问过
int nx,ny;

bool dfs(int i)
{
    int j;
    vtx[i] = true;//记住要标记
    for (j = 0; j < ny; ++j)
    {
        //按可行边超找增广轨
        if (!vty[j] && lx[i] + ly[j] == w[i][j])
        {
            vty[j] = true;
            if (link[j] == -1 || dfs(link[j]))
            {
                link[j] = i;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int KM()
{
    int i,j,k;
    //初始化X点集的顶标
    for (i = 0; i < nx; ++i)
    {
        for (j = 0,lx[i] = -inf; j < ny; ++j)
        {
            lx[i] = max(lx[i],w[i][j]);
        }
    }
    //初始化
    for (i = 0; i < maxn; ++i)
    {
        link[i] = -1; ly[i] = 0;
    }
    for (i = 0; i < nx; ++i)
    {
        while (1)
        {
            for (j = 0; j < maxn; ++j) vtx[j] = vty[j] = false;
            if (dfs(i)) break;//找到增广轨跳出循环
            int d = inf;
            //寻找d
            for (j = 0; j < nx; ++j)
            {
                if (vtx[j])
                {
                    for (k = 0; k < ny; ++k)
                    {
                        if (!vty[k]) d = min(d,lx[j] + ly[k] - w[j][k]);
                    }
                }
            }
            if (d == inf) return -1;//无完备匹配退出
　　　　　　　//在经过dfs后得到的交错树上进行加减d，因为在交错树上的都满足lx[i] +　ly[j] == w[i][j]加减后无影响。
            for (j = 0; j < nx; ++j) if (vtx[j]) lx[j] -= d;
            for (j = 0; j < ny; ++j) if (vty[j]) ly[j] += d;
        }
    }
    //计算最大带权匹配
    int sum = 0;
    for (i = 0; i < ny; ++i)
    if (link[i] > -1) sum += w[link[i]][i];
    return sum;
}
int main()
{
    int i,j;
    while (~scanf("%d",&nx))
    {
        ny = nx;
        memset(w,0,sizeof(w));
        for (i = 0; i < nx; ++i)
        {
            for (j = 0; j < ny; ++j)
            {
                scanf("%d",&w[i][j]);
            }
        }
        printf("%d\n",KM());
    }
    return 0;
}

　　O(n^3)模板：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define maxn 301
using namespace std;

const int inf = 99999999;
int w[maxn][maxn],link[maxn];
int lx[maxn],ly[maxn];//记录顶标
int slack[maxn];
bool vtx[maxn],vty[maxn];//记录X,Y点集是否被访问过
int nx,ny;

bool dfs(int i)
{
   int j;
   vtx[i] = true;
   for (j = 0; j < ny; ++j)
   {
       if (vty[j]) continue;
       int tmp = lx[i] + ly[j] - w[i][j];
       if (tmp == 0)
       {
           vty[j] = true;
           if (link[j] == -1 || dfs(link[j]))
           {
               link[j] = i;
               return true;
           }
       }
       else
       slack[j] = min(slack[j],tmp);//更新松弛量
   }
   return false;
}

int KM()
{
    int i,j;
    //初始化lx
    for (i = 0; i < nx; ++i)
    {
        for (j = 0,lx[i] = -inf; j < ny; ++j)
        {
            lx[i] = min(lx[i],w[i][j]);
        }
    }
    for (i = 0; i < maxn; ++i)
    {
        link[i] = -1; ly[i] = 0;
    }
    for (i = 0; i < nx; ++i)
    {
        for (j = 0; j < ny; ++j) slack[j] = inf;//初始化松弛量
        while (1)
        {
            for (j = 0; j < maxn; ++j) vtx[j] = vty[j] = false;
            if (dfs(i)) break;
            int d = inf;
            for (j = 0; j < ny; ++j)
            {
                if (!vty[j] && d > slack[j]) d = slack[j];
            }
            if (d == inf) return -1;
            for (j = 0; j < nx; ++j)
            if (vtx[j]) lx[j] -= d;
            for (j = 0; j < ny; ++j)
            if (vty[j]) ly[j] += d;
            else    slack[j] -= d;//注意松弛量的修改
        }
    }
    int sum = 0;
    for (i = 0; i < ny; ++i)
    if (link[i] > -1) sum += w[link[i]][i];
    return sum;
}
int main()
{
    int i,j;
    while (~scanf("%d",&nx))
    {
        ny = nx;
        memset(w,0,sizeof(w));
        for (i = 0; i < nx; ++i)
        {
            for (j = 0; j < ny; ++j)
            {
                scanf("%d",&w[i][j]);
            }
        }
        printf("%d\n",KM());
    }
    return 0;
}

posted @ 2012-07-21 19:21 E_star 阅读(294) 评论(0) 编辑收藏举报

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