背包学习————01背包

不多讲，dd大牛的背包九讲如此之经典我们只能慢慢体会了：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

状态转移方程：

1:f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]);

2:

for(i=0;i<N;i++)
{
   for(v=V;v>=c[i];v--)
   {
       f[v]=max(f[v],f[v-c[i]]+w[i]); 
   }
}

　自己的理解：　01背包的主要思想是对于这件物品做出选与不选的决定；将空间优化后V必须是逆序的，因为这样才能保证将当前的第i个物品放进去的时候，f[v]由前一状态的f[v],f[v-c[i]]+w[i]推得且前一状态必须保证从未出现过第i个物品的放于不放问题，因为每种物品只有一件。（完全背包就是顺序了因为每种物品是无限个的）

预处理：粘贴dd大牛的，

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。

实现代码：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int max_s = 1007;
int v[max_s],w[max_s],f[max_s];
int main()
{
    int t,i,j,n,V;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
        scanf("%d%d",&n,&V);
        for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&w[i]);
        for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&v[i]);
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            for(j=V;j>=v[i];j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
        printf("%d\n",f[V]);
    }
    return 0;
}

http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=565

二维01背包记录选择的物品：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define maxn 22
#define N 10007
using namespace std;

int w[maxn];
int f[maxn][N];
int L,n;
int mk[maxn];//用来标记是否被选

void init()
{
    int i,j;
    for (i = 0; i < maxn; ++i)
    {
        mk[i] = 0;
        for (j = 0; j < N; ++j)
        f[i][j] = 0;
    }
}

int main()
{
    int i,j;
    //freopen("d.txt","r",stdin);
    while (~scanf("%d",&L))
    {
        scanf("%d",&n);
        for (i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d",&w[i]);

        init();
        for (i = 1; i <= n; ++i)
        {
            for (j = 1; j <= L; ++j)
            {
                if (w[i] <= j)
                {
                    if (f[i - 1][j - w[i]] + w[i] > f[i - 1][j])
                    f[i][j] = f[i - 1][j - w[i]] + w[i];
                    else
                    f[i][j] = f[i -1][j];
                }
                else f[i][j] = f[i - 1][j];
            }
        }
        int Max = 0,e;
        for (i = 1; i <= L; ++i)
        {
            if (Max < f[n][i])
            {
                Max = f[n][i];
                e = i;
            }
        }
        for (i = n; i >= 1; --i)
        {
            if (f[i][e] == f[i - 1][e - w[i]] + w[i])
            {
                e -= w[i];
                mk[i] = 1;
            }
            else mk[i] = 0;
        }
        for (i = 1; i <= n; ++i)
        if (mk[i]) printf("%d ",w[i]);
        printf("sum:%d\n",Max);
    }
    return 0;
}

 空间优化的记录物品选择开数组num[i][j]记录i状态是否选择j

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#include <string>

#define CL(a,num) memset((a),(num),sizeof(a))
#define iabs(x)  ((x) > 0 ? (x) : -(x))
#define Min(a , b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Max(a , b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

#define ll __int64
#define inf 0x7f7f7f7f
#define MOD 100000007
#define lc l,m,rt<<1
#define rc m + 1,r,rt<<1|1
#define pi acos(-1.0)
#define test puts("<------------------->")
#define maxn 100007
#define M 10007
#define N 27
using namespace std;
//freopen("din.txt","r",stdin);

int f[M],num[M][N];
int w[N];

int main(){
   // freopen("din.txt","r",stdin);
    int V,n,i,j;
    while (~scanf("%d",&V)){
        scanf("%d",&n);
        for (i = 0; i < n; ++i) scanf("%d",&w[i]);
        CL(f,0); CL(num,0);
        for (i = 0; i < n; ++i){
            for (j = V; j >= w[i]; --j){
                f[j] = max(f[j],f[j - w[i]] + w[i]);
                if(f[j] != 0 && f[j] == f[j - w[i]] + w[i]){
                    for (int k = 0; k < n; ++k){
                        num[j][k] = num[j - w[i]][k];
                    }
                    num[j][i] = 1;
                }
            }
        }
        for (i = 0; i < n; ++i){
            if (num[V][i]) printf("%d ",w[i]);
        }
        printf("sum:%d\n",f[V]);
    }
    return 0;
}