背包总结

01 背包

题目简介

有 N件物品和一个容量为 V的背包，每件物品有各自的价值且只能被选择一次，要求在有限的背包容量下，装入的物品总价值最大。

「0-1 背包」是较为简单的动态规划问题，也是其余背包问题的基础。

动态规划是不断决策求最优解的过程，「0-1 背包」即是不断对第 i个物品的做出决策，「0-1」正好代表不选与选两种决定。

二维方式

（1）状态f[i][j]定义：前 i个物品，背包容量 j下的最优解（最大价值）：当前的状态依赖于之前的状态，可以理解为从初始状态f[0][0] = 0开始决策，有 N件物品，则需要 N次决 策，每一次对第 i件物品的决策，状态f[i][j]不断由之前的状态更新而来。

（2）当前背包容量不够（j < v[i]），没得选，因此前i个物品最优解即为前 i−1个物品最优解：

对应代码：f[i][j] = f[i - 1][j]。
（3）当前背包容量够，可以选，因此需要决策选与不选第 i个物品：

选：f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]。
不选：f[i][j] = f[i - 1][j] 。
我们的决策是如何取到最大价值，因此以上两种情况取 max() 。
代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int n, m;
int v[MAXN], w[MAXN];
int f[MAXN][MAXN];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {//从第1个物品开始放入，以后也都要从第1个物品开始取
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    for (int i = 1; i <=n; i++) { //n个物品
        for (int j = 1; j <=m; j++) {//每次向m大小增大
            if (j < v[i]) {
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            } else {
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

作者：E_sheep
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精髓：
f[i-1][j-v[i]]+w[i]

为什么要有-v[i],就是说：当我这个选了之后去找在能放的下我这个物品的前提下（减去v[i]）,我还有没有物品能够放进去，

举个例子：
就是我已知我先在书包里可以装的下手里这个苹果了，那我看看去掉这个的大小下，是否还有价值（是否有别的能够放入）f[i-1][j-v[i]],j的意义就是背包空间大小

优化为一维

将状态f[i][j]优化到一维f[j]，实际上只需要做一个等价变形。

为什么可以这样变形呢？我们定义的状态f[i][j]可以求得任意合法的i与j最优解，但题目只需要求得最终状态f[n][m]，因此我们只需要一维的空间来更新状态。

（1）状态f[j]定义：N件物品，背包容量j下的最优解。

（2）注意枚举背包容量j必须从m开始。

（3）为什么一维情况下枚举背包容量需要逆序？在二维情况下，状态f[i][j]是由上一轮i - 1的状态得来的，f[i][j]与f[i - 1][j]是独立的。而优化到一维后，如果我们还是正序，则有f[较小体积]更新到f[较大体积]，则有可能本应该用第i-1轮的状态却用的是第i轮的状态。

（4）例如，一维状态第i轮对体积为 3的物品进行决策，则f[7]由f[4]更新而来，这里的f[4]正确应该是f[i - 1][4]，但从小到大枚举j这里的f[4]在第i轮计算却变成了f[i][4]。当逆序枚举背包容量j时，我们求f[7]同样由f[4]更新，但由于是逆序，这里的f[4]还没有在第i轮计算，所以此时实际计算的f[4]仍然是f[i - 1][4]。

（5）简单来说，一维情况正序更新状态f[j]需要用到前面计算的状态已经被「污染」，逆序则不会有这样的问题。

状态转移方程为：f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i] 。

for(int i = 1; i <= n; i++) 
    for(int j = m; j >= 0; j--)
    {
        if(j < v[i]) 
            f[i][j] = f[i - 1][j];  // 优化前
            f[j] = f[j];            // 优化后，该行自动成立，可省略。
        else    
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);  // 优化前
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);                   // 优化后
    }  

实际上，只有当枚举的背包容量 >= v[i] 时才会更新状态，因此我们可以修改循环终止条件进一步优化。

for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    for(int j = m; j >= v[i]; j--)  
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}