LightOJ - 1245 Harmonic Number (II) (找规律)

题目大意：给出一个n（1 <= n < 2^31）求出H(n)的结果，H(n)的定义为下：

分析：对于一个n，设 t = n / i：

　　满足 t >= 1的有多少个呢？　　有 n / 1 个。

　　满足 t >= 2的有多少个呢？　　有 n / 2 个。

　　……

　　满足 t >= k的有多少个呢？　　有 n / k 个。

以上结论不难发现，我们再进一步就能发现：

　　满足 t == 1 的有 n/1 - n/2 个

　　满足 t == 2 的有 n/2 - n/3 个

　　……

　　满足 t == k 的有 n/k - n/(k+1) 个

发现这个规律，我们就需要考虑这个 t 枚举到哪呢？t 从1 枚举 到 n 肯定是对的，但是时间上不允许，我们可以改进一下，我们在枚举 t >= i 的时候，我们可以顺便计算出满足 t >= n/i 的有多少个（举个例子，n == 10，t >= 2的有5个，那么t>=5的就有2个）。这样一来时间复杂度就变为O(√n)了，这样就足够了。详情见代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;

LL H(int n){
    LL ans = 0;
    int m = sqrt(n+0.5);
    for(int i = 2; i <= m; ++i){
        ans += (LL)(i-1)*(n/(i-1)-n/i);
        ans += n/(i-1);
    }
    ans += m*(n/m - m);
    ans += n/m;
    return ans;
}

int main(){
    int T, ca = 1;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        int n;
        scanf("%d", &n);
        printf("Case %d: %lld\n", ca++, H(n));
    }
    return 0;
}

 

下面介绍一种最简单的写法，也是比较常用的写法，是数论分块一种：

若n为10，则n/i有几种取值呢？可以列出来是：10，5，3，2，1

我们可以从前往后考虑，

n/i >= 10的有多少个呢？　　当然是 n/(n/i) = 1   个

n/i >= 5  的有多少个呢？　　当然是 n/(n/i) = 2   个

....

n/i >= 1  的有多少个呢？　　当然是 n/(n/i) = 10 个

接下来我们的程序就可以这样写。

#include<cstdio>
int main(){
  int T,t=1;
  scanf("%d",&T);
  while(T--){
    long long n,l,i=1,r=0;
    scanf("%lld",&n);
    for(;i<=n;i=l+1)
      l=n/(n/i),r+=(l-i+1)*(n/i);
    printf("Case %d: %lld\n",t++,r);
  }
}