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拉格朗日插值学习笔记 应用 众所周知，在平面直角坐标系中，对于任意的 \(n\) 个点，都一定有一个不超过 \(n-1\) 次的函数与之相对应。拉格朗日插值适用于求解这 \(n\) 个点对应的函数。 思路 考虑给定的 \(n\) 个点的坐标表示为 \((x_i,y_i)\)，不难构造出如下函数： \ 阅读全文
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杜教筛学习笔记 杜教筛被用于求解某一数论函数 \(f\) 的前缀和，即对于形如 \(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\) 形式的函数 \(S\)，杜教筛能够在小于线性复杂度的复杂度内求解。 算法思想 尝试构造一个函数 \(S\) 的递推式。选择一个数论函数 \(g\)，那么根据狄利克雷卷积 阅读全文
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莫比乌斯反演学习笔记 前言 之前学了一遍，只学了朴素的莫比乌斯反演，现在第二次面对不知道能否有所长进。 性质 莫比乌斯反演是数论中的重要内容。对于一些函数 \(f(n)\)，如果难以直接求出它的值，但容易求得其倍数和或约数和 \(g(n)\)，那么可以通过莫比乌斯函数反演简化运算，从而求得 \(f( 阅读全文
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数论分块学习笔记 性质 数论分块用于快速计算含有除法向下取整的和式，即形如 \(\sum_{i=1}^nf(i)g(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\) 的式子。当预处理出 \(f\) 的前缀和时，数论分块可以在 \(O(\sqrt{n})\) 的时间复杂度下计算上述和式的值。 阅读全文
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广义后缀自动机学习笔记 前言 为了方便，下文有如下约定： 在下文中，广义后缀自动机简称广义 \(\text{SAM}\)。 记 \(|S|\) 为字符串 \(S\) 的长度。 记 \(\sum\) 为字符集，\(|\sum|\) 为字符集大小。 在针对时间复杂度的分析时，\(n\) 指 \(\t 阅读全文
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后缀自动机学习笔记 前言 为了方便，下文有如下约定： 在下文中，后缀自动机简称 \(\text{SAM}\)。 记 \(|S|\) 为字符串 \(S\) 的长度。 记 \(\sum\) 为字符集，\(|\sum|\) 为字符集大小。 定义 字符串 \(S\) 的 \(\text{SAM}\) 是一个 阅读全文
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回文自动机学习笔记 定义 所谓自动机，是一个对信号序列进行判定的数学模型。即对一连串有顺序的信号关于某一个判定给出或真或假的判定。 所谓回文自动机，就是对一个字符串进行其是否为回文串的判定。也就是存储字符串 \(s\) 中的所有的回文串。与 \(\text{Manacher}\) 不同的是，\(\t 阅读全文
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《吕氏春秋》GXYZ 分传 感谢 hz 提供的封面，在此鸣谢。 HZ 的前作 前作链接 luogu+前作链接 博客园 野史 《吕氏春秋》刘本+《吕氏春秋》（补充/后备资源） 前言 虽然波波离开了 HZ，但到达了 GXYZ。OI 之路不会断裂，《吕氏春秋》也将代代传承。 正文 2024.03.03 这 阅读全文
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\(\text{Manacher}\) 学习笔记 定义 所谓回文串，指的是对于一个字符串 \(s\)，若它的长为 \(n\)，下标从 \(1\) 到 \(n\)，如果 \(\forall i\in [1,n],s_i=s_{n+1-i}\)，那么字符串 \(s\) 是一个回文串。 给定一个字符串 \ 阅读全文