Min-Max 容斥学习笔记

\(\text{Min-Max}\) 容斥学习笔记

概念

\(\text{Min-Max}\) 容斥，又称最值反演，是一种对于特定集合，在已知最小值或最大值中一者的情况下，求另一种的算法。首先观察几个式子：

\[\max(a)=a\\ \max(a,b)=a+b-\min(a,b)\\ \max(a,b,c)=a+b+c-\min(a,b)-\min(b,c)-\min(a,c)+\min(a,b,c) \]

显然对所有数取相反数，易知用最大值求最小值的公式与用最小值求最大值的公式形式相同，故以下只探讨用最小值求最大值。通过观察可以写出以下式子

\[\text{Max}(S)=\sum_{T\subset S,T\ne \varnothing}(-1)^{|T|-1}\text{Min}(T) \]

其中 \(\text{Max}(S)\) 表示集合 \(S\) 中元素的最大值，\(\text{Min}(S)\) 表示集合 \(S\) 中元素的最小值。

证明：

设存在一个以集合大小为自变量的函数 \(f\) 满足 \(\text{Max}(S)=\sum_{T\subset S,T\ne\varnothing}f(|T|)\text{Min}(T)\)，并记 \(S\) 中元素从大到小排列为 \(x_1,x_2,\cdots,x_m\)，则对于 \(x_i\)，其在左侧的贡献次数为 \([i=1]\)，在右侧的贡献次数为 \(\sum_{j=0}^{i-1}{i-1\choose j}f(j+1)\)。若等式成立，则必有

\[[i=1]=\sum_{j=0}^{i-1}{i-1\choose j}f(j+1) \]

设 \(F(i)=[i+1=1],G(i)=f(i+1)\)，则

\[F(i)=\sum_{j=0}^{i}{i\choose j}G(j) \]

对这个式子进行二项式反演，得到

\[G(i)=\sum_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{i\choose j}F(j)=(-1)^i \]

所以 \(f(i)=G(i-1)=(-1)^{i-1}\)，于是有

\[\text{Max}(S)=\sum_{T\subset S,T\ne \varnothing}(-1)^{|T|-1}\text{Min}(T) \]

拓展

记 \(k\text{Max}(S)\) 表示集合 \(S\) 的 \(k\) 大值，则

\[k\text{Max}(S)=\sum_{T\sub S,|T|\ge k}(-1)^{|T|-k}{|T|-1\choose k-1}\text{Min}(T) \]

证明：

设存在一个以集合大小为自变量的函数 \(g\) 满足 \(k\text{Max}(S)=\sum_{T\sub S,T\ne\varnothing}g(|T|)\text{Min}(T)\)，并记 \(S\) 中元素从大到小排列为 \(x_1,x_2,\cdots,x_m\)，则对于 \(x_i\)，其在左侧的贡献次数为 \([i=k]\)，在右侧的贡献次数为 \(\sum_{j=0}^{i-1}{i-1\choose j}g(j+1)\)，若等式成立，则必有

\[[i=k]=\sum_{j=0}^{i-1}{i-1\choose j}g(j+1) \]

设 \(F(i)=[i+1=k],G(i)=g(i+1)\)，则

\[F(i)=\sum_{j=0}^{i}{i\choose j}G(i) \]

进行二项式反演可得

\[G(i)=\sum_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{i\choose j}F(j)=(-1)^{i-k+1}{i\choose k-1} \]

故 \(g(i)=G(i-1)=(-1)^{i-k}{i-1\choose k-1}\)，于是有

\[k\text{Max}(S)=\sum_{T\sub S,|T|\ge k}(-1)^{|T|-k}{|T|-1\choose k-1}\text{Min}(T) \]

应用

\(\text{Min-Max}\) 容斥常见于期望问题，具体表现为所有元素均出现的期望时间。记 \(t_i\) 表示第 \(i\) 个元素的出现时间，则 \(\text{Max}(S)\) 表示所有元素出现时间的最大值，即所有元素都出现的时间，而 \(\text{Min}(S)\) 表示所有元素出现时间的最小值，即至少一个元素出现的时间。根据 \(\text{Min-Max}\) 容斥，有

\[\text{Max}(S)=\sum_{T\sub S,T\ne\varnothing}(-1)^{|T|-1}\text{Min}(T) \]

对左右两边同时取期望，因为期望是线性的，所有可以放到求和里，即

\[E(\text{Max}(S))=\sum_{T\sub S,T\ne\varnothing}(-1)^{|T|-1}E(\text{Min}(T)) \]

容易发现 \(E(\text{Min}(T))\) 是好求的，当单位时间出现 \(T\) 中至少一个的概率为 \(p\)，则出现 \(T\) 中至少一个的期望时间为 \(\frac{1}{p}\)。于是容易求出 \(E(\text{Max}(S))\)，即所有元素都出现的期望时间。

同时，在数论题目中，可以考虑到 \(\text{lcm}\) 相当于将所有数的质因子的指数取 \(\max\)，而 \(\gcd\) 则相当于取 \(\min\)，因此在同时出现 \(\text{lcm}\) 与 \(\gcd\) 的题目中也应当想到如此转换。