Min-Max 容斥学习笔记

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$\text{Min-Max}$ 容斥学习笔记

概念

$\text{Min-Max}$ 容斥，又称最值反演，是一种对于特定集合，在已知最小值或最大值中一者的情况下，求另一种的算法。首先观察几个式子：

$$\begin{gathered} max(a)=a \\ max(a,b)=a+b-min(a,b) \\ max(a,b,c)=a+b+c-min(a,b)-min(b,c)-min(a,c)+min(a,b,c) \end{gathered}$$

显然对所有数取相反数，易知用最大值求最小值的公式与用最小值求最大值的公式形式相同，故以下只探讨用最小值求最大值。通过观察可以写出以下式子

$$\text{Max}(S)=\sum _{T\subset S,T\ne \varnothing }(-1{)}^{|T|-1}\text{Min}(T)$$

其中 $\text{Max}(S)$ 表示集合 $S$ 中元素的最大值，$\text{Min}(S)$ 表示集合 $S$ 中元素的最小值。

证明：

设存在一个以集合大小为自变量的函数 $f$ 满足 $\text{Max}(S)=\sum _{T\subset S,T\ne \varnothing }f(|T|)\text{Min}(T)$，并记 $S$ 中元素从大到小排列为 $x_1,x_2,\cdots ,x_m$，则对于 $x_i$，其在左侧的贡献次数为 $[i=1]$，在右侧的贡献次数为 $\sum _{j=0}^{i-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{j})f(j+1)$。若等式成立，则必有

$$[i=1]=\sum _{j=0}^{i-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{j})f(j+1)$$

设 $F(i)=[i+1=1],G(i)=f(i+1)$，则

$$F(i)=\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})G(j)$$

对这个式子进行二项式反演，得到

$$G(i)=\sum _{j=0}^i(-1{)}^{i-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})F(j)=(-1{)}^i$$

所以 $f(i)=G(i-1)=(-1{)}^{i-1}$，于是有

$$\text{Max}(S)=\sum _{T\subset S,T\ne \varnothing }(-1{)}^{|T|-1}\text{Min}(T)$$

拓展

记 $k\text{Max}(S)$ 表示集合 $S$ 的 $k$ 大值，则

$$k\text{Max}(S)=\sum _{T\text{sub}S,|T|\ge k}(-1{)}^{|T|-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{|T|-1}{k-1})\text{Min}(T)$$

证明：

设存在一个以集合大小为自变量的函数 $g$ 满足 $k\text{Max}(S)=\sum _{T\text{sub}S,T\ne \varnothing }g(|T|)\text{Min}(T)$，并记 $S$ 中元素从大到小排列为 $x_1,x_2,\cdots ,x_m$，则对于 $x_i$，其在左侧的贡献次数为 $[i=k]$，在右侧的贡献次数为 $\sum _{j=0}^{i-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{j})g(j+1)$，若等式成立，则必有

$$[i=k]=\sum _{j=0}^{i-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{j})g(j+1)$$

设 $F(i)=[i+1=k],G(i)=g(i+1)$，则

$$F(i)=\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})G(i)$$

进行二项式反演可得

$$G(i)=\sum _{j=0}^i(-1{)}^{i-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})F(j)=(-1{)}^{i-k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k-1})$$

故 $g(i)=G(i-1)=(-1{)}^{i-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{k-1})$，于是有

$$k\text{Max}(S)=\sum _{T\text{sub}S,|T|\ge k}(-1{)}^{|T|-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{|T|-1}{k-1})\text{Min}(T)$$

应用

$\text{Min-Max}$ 容斥常见于期望问题，具体表现为所有元素均出现的期望时间。记 $t_i$ 表示第 $i$ 个元素的出现时间，则 $\text{Max}(S)$ 表示所有元素出现时间的最大值，即所有元素都出现的时间，而 $\text{Min}(S)$ 表示所有元素出现时间的最小值，即至少一个元素出现的时间。根据 $\text{Min-Max}$ 容斥，有

$$\text{Max}(S)=\sum _{T\text{sub}S,T\ne \varnothing }(-1{)}^{|T|-1}\text{Min}(T)$$

对左右两边同时取期望，因为期望是线性的，所有可以放到求和里，即

$$E(\text{Max}(S))=\sum _{T\text{sub}S,T\ne \varnothing }(-1{)}^{|T|-1}E(\text{Min}(T))$$

容易发现 $E(\text{Min}(T))$ 是好求的，当单位时间出现 $T$ 中至少一个的概率为 $p$，则出现 $T$ 中至少一个的期望时间为 $\frac{1}{p}$。于是容易求出 $E(\text{Max}(S))$，即所有元素都出现的期望时间。

同时，在数论题目中，可以考虑到 $\text{lcm}$ 相当于将所有数的质因子的指数取 $max$，而 $gcd$ 则相当于取 $min$，因此在同时出现 $\text{lcm}$ 与 $gcd$ 的题目中也应当想到如此转换。