普通生成函数学习笔记

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普通生成函数学习笔记

定义

已知一个序列 $a$，可以是有限项也可以是无限项，定义其生成函数 $F(x)$ 为

$$F(x)=\sum a_i{x}^i$$

作用

生成函数本质是一个多项式，所以可以进行多项式卷积，方便处理序列问题。假设序列 $a$ 的生成函数是 $F(x)$，序列 $b$ 的生成函数是 $G(x)$，有

$$F(x)G(x)=\sum x^i\sum _{j=0}^i{a}_j{b}_{i-j}$$

封闭形式

封闭操作可以让生成函数更加易于化简，也就是将无限项的多项式封闭为有限项。有几种比较常见的封闭形式：

1. $\text{lang}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{0}),(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}),(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}),\cdots \text{rang}=\frac{1}{(1-x{)}^n}$。

   这本质上是二项式定理的负数形式（也叫做牛顿二项式定理）：

   $$(1-x{)}^{-n}=\sum (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1+i}{i})x^i$$

2. $\text{lang}1,n,n^2,\cdots \text{rang}=\frac{1}{1-nx}$。

3. $\sum x^{ni}=\sum (x^n{)}^i=\frac{1}{1-x^n}$。

4. $\text{lang}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}),(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}),(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}),\cdots \text{rang}=(1+x{)}^n$。

   本质上就是二项式定理。

5. 存在前导零

   即 $\text{lang}0,0,\cdots ,0,a_0,a_1,a_2,\cdots \text{rang}$。假设前面有 $n$ 个 $0$，这种情况先把 $0$ 后面的结果算出来，再乘上一个 $x^n$ 即可。

6. 其他形式

   对于其他形式的序列，总能将其拆成多个生成函数的和或差，然后便可以求解。

展开形式

记 $[x^n]F(x)$ 表示 $x^n$ 的系数。

假设我们成功求出了 $F(x)$ 的封闭形式，显然无法直接求出 $[x^n]F(x)$，此时需要我们将封闭形式展开。本质上是封闭的逆过程，一般通过设关于 $F(x)$ 的方程然后求解。

下面以最经典的斐波那契数列的通项公式为例。

设 $F(x)=\sum f_i{x}^i$，其中 $f_i$ 为斐波那契数列（$f_0=0,f_1=1,f_n=f_{n-1}+f_{n-2}(n\ge 2)$）。

那么有

$$F(x)=xF(x)+x^{2}F(x)+x$$

则 $F(x)$ 的封闭形式为 $\frac{x}{1-x-x^2}$。发现不属于罗列出的特殊情况。有两种方式进行展开：

1. 将 $x^2+x$ 看作整体

   那么相当于前面有一个前导零，那么

   $$\begin{array}{rl}F(x)& =\sum x(x^2+x{)}^i\\ & =\sum \sum _{j=0}^{i}x(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})x^{2j}{x}^{i-j}\\ & =\sum \sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})x^{i+j+1}\\ & =\sum x^i\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-j-1}{j})\end{array}$$

   于是我们得到 $f_i=\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-j-1}{j})$，但这并不是我们熟知的形式。

2. 考虑将此形式转换成两个朴素形式相加

   即写作

   $$\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{A}{1-ax}+\frac{B}{1-bx}$$

   接着求解待定系数

   $$\begin{array}{rl}\frac{x}{1-x-x^2}& =\frac{A}{1-ax}+\frac{B}{1-bx}\\ & =\frac{A(1-bx)+B(1-ax)}{(1-ax)(1-bx)}\\ & =\frac{(A+B)-(Ab+aB)x}{1-(a+b)x+ab{x}^2}\end{array}$$

   接着解方程

   $$\{\begin{array}{c}A+B=0\\ Ab+aB=-1\\ a+b=1\\ ab=-1\end{array}$$

   解得

   $$\{\begin{array}{c}A=\frac{1}{\sqrt{5}}\\ B=-\frac{1}{\sqrt{5}}\\ a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}$$

   接着回代，所以有

   $$\begin{array}{rl}F(x)& =\frac{x}{1-x-x^2}\\ & =\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x}+\frac{-\frac{1}{\sqrt{5}}}{1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x}\\ & =\frac{1}{\sqrt{5}}\sum (\frac{1+\sqrt{5}}{2}x{)}^i-\frac{1}{\sqrt{5}}\sum (\frac{1-\sqrt{5}}{2}x{)}^i\\ & =\sum x^i\frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^i-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^i}{\sqrt{5}}\end{array}$$

   于是我们得到 $f_i=\frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^i-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^i}{\sqrt{5}}$