二项式反演学习笔记
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概念
二项式反演作为一种反演形式,常用于通过指定若干个求解恰好若干个的问题,即我们常说的容斥问题。
引入
首先讲讲朴素容斥。
作为集合来说,有
这其实就是容斥原理。更一般地,有
证明:设某一元素被
而对右侧的贡献为
所以每个元素对左右两侧的贡献均相等,得证。
形式
形式零
顺着刚刚容斥的公式,记
同时,因为补集的补集就是原集,因此有
下面考虑一种特殊情况:多个集合的交集大小之和集合的数目有关。
也就是说,在总共的
记
显然这两个公式等价,且能够相互推导,于是我们得到了二项式反演的形势零
形式一
有如下公式
证明:考虑函数
形式二
和形式一类似,是最常用的公式,公式如下
变形应该也可以得到
证明:将右式代入左式,有
左右恒等,得证。
至于下式,令
得证。
意义
更具体的来说,认为
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