杜教筛学习笔记

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杜教筛学习笔记

杜教筛被用于求解某一数论函数 $f$ 的前缀和，即对于形如 $S(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$ 形式的函数 $S$，杜教筛能够在小于线性复杂度的复杂度内求解。

算法思想

尝试构造一个函数 $S$ 的递推式。选择一个数论函数 $g$，那么根据狄利克雷卷积可以得到：

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)& =\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})\\ & =\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }f(i)\\ & =\sum _{i=1}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )\end{array}$$

那么接着我们就可以简单的推得：

$$\begin{array}{rl}g(1)S(n)& =\sum _{i=1}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )\\ & =\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )\end{array}$$

不难看出，只需要能够快速求解 $\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)$ 和 $\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$，就可以快速求出 $g(1)S(n)$，也能够快速求得 $S(n)$。

事实上，不论 $f$ 是否是积性函数，只要构造出的函数 $g$ 能够满足上面的式子的推导，就可以使用杜教筛进行求解。

时间复杂度

在不能预处理的情况下，杜教筛的复杂度是 $O(n^{\frac{3}{4}})$ 的。

而在可以进行预处理的情况下，进行前 $n^{\frac{2}{3}}$ 个数的预处理能够让时间复杂度降至 $O(n^{\frac{2}{3}})$。

更加值得注意的是，上述时间复杂度全部建立在记忆化的基础上，因此需要采用 map 或 unordered_map 进行存储。

常见积性函数及其卷积形式

$$\begin{gathered} \epsilon =\mu \ast 1 \\ d=1\ast 1 \\ \sigma =\text{id}\ast 1 \\ \phi =\mu \ast \text{id} \end{gathered}$$

其中，$\epsilon$ 单位函数，$1$ 是常函数，$d$ 是因子函数，$\sigma$ 是除数函数，$\text{id}$ 是恒等函数。

代码实现

下面以 $\mu$ 函数的杜教筛为实例代码。那么所求 $S(n)=\sum _{i=1}^n\mu (i)$。

不妨令 $g=1$，所以：

$$\begin{array}{rl}g(1)S(n)& =S(n)\\ & =\sum _{i=1}^n(\mu \ast 1)(i)-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )\\ & =\sum _{i=1}^n\epsilon (i)-\sum _{i=2}^{n}S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )\\ & =1-\sum _{i=2}^{n}S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )\end{array}$$

不难看出后半部分可以用数论分块求解。

int cnt;
int p[N+5],mu[N+5];
bool vis[N+5];
unordered_map<int,ll>sum_mu;

void EulerS(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            p[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;p[j]<=N/i;j++){
            vis[i*p[j]]=true;
            if(i%p[j]==0){
                mu[i*p[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)mu[i]+=mu[i-1];
    return ;
}//线性筛预处理

ll SumMu(ll n){
    if(n<=N)return mu[n];//线性筛预处理出的答案可以不用求解
    if(sum_mu[n])return sum_mu[n];//之前求解过的答案可以不用求解
    ll res=1;
    for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1){
        r=n/(n/l);
        res-=SumMu(n/l)*(r-l+1);
    }//求解前缀和
    return sum_mu[n]=res;//记忆化剪枝
}