莫比乌斯反演学习笔记

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莫比乌斯反演学习笔记

前言

之前学了一遍，只学了朴素的莫比乌斯反演，现在第二次面对不知道能否有所长进。

性质

莫比乌斯反演是数论中的重要内容。对于一些函数 $f(n)$，如果难以直接求出它的值，但容易求得其倍数和或约数和 $g(n)$，那么可以通过莫比乌斯函数反演简化运算，从而求得 $f(n)$ 的值。

前置知识

数论分块+狄利克雷卷积。

莫比乌斯函数

$\mu$ 为莫比乌斯函数，定义为：

$$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& n\text{ 含有平方因子}\\ (-1{)}^k& k\text{ 为 }n\text{ 的本质不同质因子个数}\end{array}$$

即对于 $n=\prod p_i^{{\alpha }_i}$：

$$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& \mathrm{\exists }{\alpha }_i\ge 2\\ (-1{)}^i& \mathrm{\forall }{\alpha }_i=1\end{array}$$

容易看出，莫比乌斯函数是积性函数，同时满足以下性质：

$$\sum _{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& n\ne 1\end{array}$$

求解

由于莫比乌斯函数是积性函数，所以可以采用线性筛求解。

代码

void get_miu(int N){
	miu[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!vis[i]){
			p[++cnt]=i;
			miu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;p[j]<=N/i;j++){
			vis[i*p[j]]=1; 
			if(i%p[j]==0)break;//说明其含有平方因子，不做处理
			else miu[i*p[j]]=-miu[i];//否则根据积性函数的性质求解
		}
	}
    return ;
}

莫比乌斯变换

有以下两种形式，即文章开头提及的约数和和倍数和的形式。

约数和：如果 $F(n)=\sum _{d|n}f(d)$，那么 $f(n)=\sum _{d|n}\mu (\frac{n}{d})F(d)$。

倍数和：如果 $F(n)=\sum _{n|d}f(d)$，那么 $f(n)=\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})F(d)$。