合集-学习笔记
摘要：笛卡尔树学习笔记 定义 笛卡尔树是一棵特殊的二叉树，它的每个节点都包含了两个值 \((k,w)\)。其中，整棵树关于 \(k\) 为一棵二叉搜索树，而关于 \(w\) 为一个小根堆（或大根堆）。 到这里可以发现，Treap 是一种特殊的笛卡尔树，因为 Treap 相当于给定了 \(k\)，而我们人为
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摘要：基环树学习笔记 定义 基环树指的是一张有 \(n\) 个节点和 \(n\) 条边的图，如果不保证连通的话，那么整张图是一张基环树森林。并且如果将环上的任意一条边去除，那么整棵基环树会成为一棵普通的树。 分类 基环树有以下几种特殊情况，也是题目中较多出现的。 基环内向树 指的是在一棵有向基环树中，所有
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摘要：后缀数组学习笔记 定义 所谓后缀，指的是对于一个字符串 \(s\)，如果它的下标从 \(1\) 到 \(n\)，那么对于 \(s\) 的一个后缀 \(i=s[i\dots n]\)。 所谓后缀数组 sa[]，就是按照这些后缀的字典序排序后得到的数组。更具体的，后缀数组 sa[i] 中存储的是字符串
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摘要：虚树学习笔记 定义 虚树指的是不同于原树（我称之为实树）的重构树，使得在同样能够求解的情况下，整棵树的节点数更少，从而使得在存在多次询问时，一些复杂度关于树的节点数的树上算法能够在时限内求解。 常用场景 一般来说，虚树的使用场景比较单一，常见于在实树上存在一些特殊节点，并且答案与这些节点有关的题目，
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摘要：网络流学习笔记 本来是不想写的，因为不想在里面博客插入图片，但是发现网络流似乎可以牵扯出许多不为人知的图论内容，因此特此写一篇博客铺路。 前言 网络流是一种说难也不难，说简单也不简单的结构。难就难在对于一道题来说，我们难以分辨需要用到什么算法，怎么建图，因此，我们只能多做多练，积累各种各样的模型。
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摘要：线性基学习笔记 定义 线性空间 \(V\) 内的一个极大线性无关组是 \(V\) 的一组 hamel 基 或 线性基，简称 基。 以上内容是 OI WIKI 中提及的定义。 更具体一点来说，对于一个向量组 \(v\)，如果满足对于任意的取值，使 \(\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i\n
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摘要：拉格朗日插值学习笔记 应用 众所周知，在平面直角坐标系中，对于任意的 \(n\) 个点，都一定有一个不超过 \(n-1\) 次的函数与之相对应。拉格朗日插值适用于求解这 \(n\) 个点对应的函数。 思路 考虑给定的 \(n\) 个点的坐标表示为 \((x_i,y_i)\)，不难构造出如下函数： \
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摘要：杜教筛学习笔记 杜教筛被用于求解某一数论函数 \(f\) 的前缀和，即对于形如 \(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\) 形式的函数 \(S\)，杜教筛能够在小于线性复杂度的复杂度内求解。 算法思想 尝试构造一个函数 \(S\) 的递推式。选择一个数论函数 \(g\)，那么根据狄利克雷卷积
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摘要：数论分块学习笔记 性质 数论分块用于快速计算含有除法向下取整的和式，即形如 \(\sum_{i=1}^nf(i)g(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\) 的式子。当预处理出 \(f\) 的前缀和时，数论分块可以在 \(O(\sqrt{n})\) 的时间复杂度下计算上述和式的值。
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摘要：莫比乌斯反演学习笔记 前言 之前学了一遍，只学了朴素的莫比乌斯反演，现在第二次面对不知道能否有所长进。 性质 莫比乌斯反演是数论中的重要内容。对于一些函数 \(f(n)\)，如果难以直接求出它的值，但容易求得其倍数和或约数和 \(g(n)\)，那么可以通过莫比乌斯函数反演简化运算，从而求得 \(f(
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摘要：广义后缀自动机学习笔记 前言 为了方便，下文有如下约定： 在下文中，广义后缀自动机简称广义 \(\text{SAM}\)。 记 \(|S|\) 为字符串 \(S\) 的长度。 记 \(\sum\) 为字符集，\(|\sum|\) 为字符集大小。 在针对时间复杂度的分析时，\(n\) 指 \(\t
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摘要：后缀自动机学习笔记 前言 为了方便，下文有如下约定： 在下文中，后缀自动机简称 \(\text{SAM}\)。 记 \(|S|\) 为字符串 \(S\) 的长度。 记 \(\sum\) 为字符集，\(|\sum|\) 为字符集大小。 定义 字符串 \(S\) 的 \(\text{SAM}\) 是一个
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摘要：回文自动机学习笔记 定义 所谓自动机，是一个对信号序列进行判定的数学模型。即对一连串有顺序的信号关于某一个判定给出或真或假的判定。 所谓回文自动机，就是对一个字符串进行其是否为回文串的判定。也就是存储字符串 \(s\) 中的所有的回文串。与 \(\text{Manacher}\) 不同的是，\(\t
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摘要：\(\text{Manacher}\) 学习笔记 定义 所谓回文串，指的是对于一个字符串 \(s\)，若它的长为 \(n\)，下标从 \(1\) 到 \(n\)，如果 \(\forall i\in [1,n],s_i=s_{n+1-i}\)，那么字符串 \(s\) 是一个回文串。 给定一个字符串 \
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摘要：\(\text{LCT}\) 学习笔记 可曾久仰 \(\text{LCT}\) 大名，可曾听闻 \(\text{Splay}\) 骂名？ 动态树 对于一棵有 \(n\) 个节点的树，如果每个点都有点权，那么求解 \(x,y\) 之间的路径上的点权和可以用树链剖分+线段树简单做到。 考虑对于一棵 \(
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摘要：\(\text{Min}\_25\) 筛学习笔记 事实上我又学习了一个有点春的筛法。\(\text{Min}\_25\) 筛用于求解积性函数的前缀和，即形如 \(g(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)\) 形式的函数 \(g\)。 众所周知，朴素筛法之所以无法做到低于线性是因为枚举了区间内的
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摘要：\(\text{Min-Max}\) 容斥学习笔记 概念 \(\text{Min-Max}\) 容斥，又称最值反演，是一种对于特定集合，在已知最小值或最大值中一者的情况下，求另一种的算法。首先观察几个式子： \[\max(a)=a\\ \max(a,b)=a+b-\min(a,b)\\ \max(a
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摘要：位运算卷积学习笔记 位运算卷积，即快速沃尔什变换 \(\text{FWT}\) 和快速莫比乌斯变换 \(\text{FMT}\)，但事实上最常用的是 \(\text{FWT}\)，因为 \(\text{FMT}\) 所求解的内容是 \(\text{FWT}\) 的子集。 位运算卷积 首先要知道位运算
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摘要：斯特林数学习笔记 前置知识 普通生成函数+下降幂+多项式 定义 斯特林数是组合数学概念，分为第一类斯特林数和第二类斯特林数 第一类斯特林数 第一类斯特林数表示为 \(\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}\)，表示 \(n\) 个不同的人坐 \(m\) 张相同的圆桌的方案数
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摘要：下降幂学习笔记 还原精灵还我笔记——来自打完笔记但关电脑前没有保存的某人的呐喊。 定义 下降幂就是形如 \(n^{\underline{m}}\) 的式子，表示 \[n^{\underline{m}}=\prod_{i=n-m+1}^{n}=\frac{n!}{(n-m)!} \]同理声明一个上升幂
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摘要：普通生成函数学习笔记 定义 已知一个序列 \(a\)，可以是有限项也可以是无限项，定义其生成函数 \(F(x)\) 为 \[F(x)=\sum a_ix^i \]作用 生成函数本质是一个多项式，所以可以进行多项式卷积，方便处理序列问题。假设序列 \(a\) 的生成函数是 \(F(x)\)，序列 \(
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摘要：二项式反演学习笔记 概念 二项式反演作为一种反演形式，常用于通过指定若干个求解恰好若干个的问题，即我们常说的容斥问题。 引入 首先讲讲朴素容斥。 作为集合来说，有 \[|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| \]这其实就是容斥原理。更一般地，有 \[|A_1\cup A_2\cup\
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摘要：\(\text{FFT}\) 学习笔记 建议先学习普通生成函数。 多项式 确定一个多项式，往往只需要知道每一次项前的系数是多少即可。众所周知，一个朴素的多项式往往可以被写成 \[f(x)=\sum_{n\ge 0}a_nx^n \]的形式，在这种形式下的两个多项式 \(f,g\) 的乘积 \(h\)
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摘要：原根学习笔记 原根 这是一个又臭又长的内容。 拉格朗日定理：设 \(p\) 为素数，对于模 \(p\) 意义下的整系数多项式 \[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0(p\nmid a_n) \]的同余方程 \(f(x)\equiv 0\pmod p\) 在模
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摘要：替罪羊树学习笔记 史！ 思想 众所周知，替罪羊树是一种平衡二叉搜索树，其拥有虽然我不理解为什么，但是很牛的复杂度。其思想在于通过一个系数进行定期重构，使得维护所有信息的树是一棵接近平衡树的伪平衡树，那么他依然拥有 \(O(\log n)\) 级别的层高，因此对于跳转查询依旧具有优异的复杂度。 但是，
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摘要：矩阵树定理学习笔记 真的，我这辈子都没有想过行列式还能用到这种地方。 定义 图的关联矩阵 对于一张有 \(n\) 个点、\(m\) 条边的图（对于无向图，可以随便定义边的方向，因为相反的边只需要将对应列乘以 \(-1\) 即可），我们定义其关联矩阵 \(M\) 满足： \[M_{i,j}=\left
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摘要：高斯消元学习笔记 其实这个主题能够复活主要还是粘了 \(\text{LGV}\) 引理的光，不然我还不知道高斯消元其实不光能求解线性方程组。 求解线性方程组 这个只能说是典中典了，我不相信没有一个人的高斯消元不是从这里开始的。 我们考虑求解线性方程组的本质：将每一个式子所有未知数前都有系数转化成每一
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摘要：\(\text{LGV}\) 引理学习笔记 \(\text{LGV}\) 引理一般用于求解有向无环图中多条不相交路径的方案数，引理内容如下。 引理 定义 \(w(P)\) 指的是路径 \(P\) 上所有边权的乘积（在路径计数问题中认为所有边权均为 \(1\) 即可），\(e(A,B)\) 指的是 \
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摘要：\(\text{K-D tree}\) 学习笔记 \(\text{K-D tree}\) 是一种针对 \(k\) 维问题求解的算法，并且拥有出色的时空复杂度。 思想 \(\text{K-D tree}\) 本质上是一棵 \(k\) 维的二叉平衡树，这保证了其树高稳定在 \(\log n\) 附近，为
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摘要：线段树综合 自从模拟赛出现一道勾石线段树题目开始，命运的齿轮就开始转动。 线段树分裂 之前学过线段树合并，现在又要学线段树分裂了 \(\text{qwq}\)。 线段树分裂意在将线段树维护的信息拆成多个区间进行维护。不难发现，如果直接重新建树是 \(O(n\log n)\) 的，而线段树分裂能够做到
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摘要：\(\text{2-sat}\) 学习笔记 有这样一类问题，有多个变量 \(a_{1\to n}\)，每个变量的取值范围为 \(\{0,1\}\)，给出 \(m\) 条限制条件，形如 \((\lor_{i=1}^{k}a_{p_i}=x_i)=\text{true}\) 的形式，需要你求解是否有可行
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摘要：凸包学习笔记 内容好多啊。 概念 \(n\) 个点形成的凸包，指的是在坐标系上这 \(n\) 个点构成的包含所有点的，以这 \(n\) 个点中的一些为顶点的极小的凸多边形。而一个凸包又由两部分组成，分为上凸壳和下凸壳（其实和凸包区分性不大），可以理解为这个凸多边形的上半部分和下半部分。 常见场景 维
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摘要：插头 \(\text{dp}\) 学习笔记 前置芝士：状态压缩 \(\text{dp}\)，轮廓线 \(\text{dp}\) 引入 存在一个 \(n\times m\) 的棋盘，若使用多米诺骨牌进行覆盖，有多少种方式能不重叠不遗漏的覆盖整个棋盘？ 对于上面的问题，使用状压 \(\text{dp}\
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摘要：整体二分学习笔记 谁说这二分老了，这二分太棒了！ 概念 二分适用于答案具有单调性的题目，思路是令 \(\text{Solve}(l,r)\) 表示二分此问题的答案时，已经知道了 \(ans\in[l,r]\)。此时如果有一种手段 \(\text{check(x)}\) 判断 \(ans\ge x\)
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摘要：《具体数学》阅读笔记 目录《具体数学》阅读笔记1. 常见化简技巧1.1. 基数变换1.2. 待定系数法1.3. 和式和递归式1.3.1. 求和因子1.3.2 扰动法1.3.3 巧用定律与法则 1. 常见化简技巧 1.1. 基数变换 形如 \[\begin{aligned} &f(j)=\alpha_
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摘要：辛普森积分学习笔记 定积分 定积分的定义 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上有界，在 \([a,b]\) 中插入若干个分点 \[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b \]把区间 \([a,b]\) 分成 \(n\) 个小区间，各小区间的长度依次为
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