错排公式的理解与推导（转载）

转自：

　　　①：https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/7620370.html

　　　②：https://www.cnblogs.com/c1299401227/p/5349727.html

 

 

错排的定义：

一段序列中一共有$n$个元素，那么可知这些元素一共有$n!$种排列方法。假如在进行排列时，原来所有的元素都不在原来的位置，那么称这个排列为错排。而错排数所指的就是在一段有$n$个元素的序列中，有多少种排列方式是错排。

 

错排公式：

递归关系：$$D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2)) $$ 特别地有$D(1)=0$,$D(2)=1$；

错排公式：$$D(n)=(n!)[\frac{(-1)^0}{0!}+\frac{(-1)^1}{(1!)}+\frac{(-1)^2}{(2!)}+\frac{(-1)^3}{(3!)}+......+\frac{(-1)^n}{(n!)}]$$；   其中$n!=n*(n-1)*(n-2)*......3*2*1 $     特别地有$0!=1$ ,$1!=1$

 

递推关系推导：

$n$个不同的元素的一个错排公式可以分作两步完成：

第一步：假设我们错排第一个元素，那么它可以从$2->n$的位置任意选择其中的一个，一共是有n-1种选择。

第二步：错排其余$n-1$个元素，也是需要分情况和种类的。因为这需要看第一步的结果，如果第一个元素落在第$k$个位置上，第二步就需要把$k$号元素进行错排，$k$号元素错排位置的不同将导致不同的情况会发生：

1.假设$k$号元素正好落在了第一个元素的位置，那么就可以将第一个元素和第k个元素完全剔除出去，因为相当于只是他们两者互换了位置，其他元素暂时还没有发生变动。留下来的$n-2$元素进行错排的话，那么我们就可以得到了$D(n-2)$种的错排方式。

2.若$k$号元素不排到第一个元素的位置，我们可以暂时将现在排在k号位置的第一个元素剔除出去，生下来的就只包含k号元素和原来$n-2$个的元素了。这时，我们可以将原来的第一个元素的位置看做是现在k号元素的原本位置，因为k号元素不能够放在原来的位置上，所以就相当于是原来的$n-2$个元素和$k$共计$n-1$个元素进行完全的错排。那么一共就有$D(n-1)$种方法。 第二种情况希望大家仔细理解！配一张图便于理解

 

那么，我们有根据加法原理，完成第二步有$D(n-2)+D(n-1)$种方法。

根据乘法原理得到$D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))$ 。递推关系解释完毕。

 

 

错排公式推导：

 

 $$D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]$$

特殊地，$D(1) = 0$, $D(2) = 1$.

下面通过这个递推关系推导:

为方便起见，设$$D(k) = k! N(k), k = 1, 2, …, n$$

则$$N(1) = 0, N(2) = 1/2$$.

$n ≥ 3$时，$$n! N(n) = (n-1) (n-1)! N(n-1) + (n-1)! N(n-2)$$

即 $$nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2)$$

于是有$$N(n) - N(n-1) = $\frac{- [N(n-1) - N(n-2)]}{n}$ =-\frac{1}{n}) [-\frac{1}{(n-1)}] [-\frac{1}{(n-2)}]…(-\frac{1}{3}) [N(2) - N(1)] = \frac{(-1)^n} {n!}$$.

因此将

$$N(n)-N(n-1)=\frac{(-1)^(n)}{(n!)}$$

$$N(n-1) - N(n-2) = \frac{(-1)^(n-1)} {(n-1)!}$$

$$N(n-2)-N(n-3)=\frac{(-1)^(n-2)}{(n-2)}

$$...$$

$$...$$

$$...$$

$$N(3)-N(2)=\frac{(-1)^3}{3!}$$

$$N(2) - N(1) =\frac{(-1)^2}{2!}$$

相加，可得

$$N(n) =\frac{(-1)^2}{2!} + … + \frac{(-1)^(n-1)}{(n-1)!} +\frac{(-1)^n}{n!}$$

因此

$$D(n) = n! [\frac{(-1)^2}{2!} + … + \frac{(-1)^(n-1)}{(n-1)!} + \frac{(-1)^n}{n!}]$$

此即错排公式。