算法笔记——整数划分1

题目来源：NYOJ90

问题描述：

　　将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk， 其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。 正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不 同划分个数。 
　　例如正整数6有如下11种不同的划分： 
　　　　6； 
　　　　5+1； 
　　　　4+2，4+1+1； 
　　　　3+3，3+2+1，3+1+1+1； 
　　　　2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 
　　　　1+1+1+1+1+1。 

输入：

　　第一行是测试数据的数目M（1<=M<=10）。以下每行均包含一个整数n（1<=n<=10）。

输出：

　　输出每组测试数据有多少种分法。

分析：

　　对于整数划分，相当于把正整数n写成下面形式：

　　　　n=n1+n2+…+nk （其中n≥n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1），则{n1, n2, ……,nk}为n的一个划分。

　　现假设n1 <= m，即：{n1, n2, ……,nk}中最大的数不超过m，则称{n1, n2, ……,nk}是n的一个m上限划分。记n的m上限划分为f(n,m)。因此，此题的解便是f(n,n)。对于f(n,m)，分析可得下面的递推关系式：

　　1、当n = 1时，f(n,m)=1。即1只有{1}这一种划分。

　　2、当m = 1时，f(n,m)=1。即此时只有{1, 1,……,1}（共n个1）这一种划分。

　　3、当m = n时，f(n,m) = f(n,n) = f(n, n-1) + 1。其中"+1"对应的就是{n}这种划分，其他的划分中，必定所有数都小于n。

　　4、当m > n时， f(n,m) = f(n,n)，因为n的划分中不可能存在大于n的数。

　　5、当m < n时， f(n,m) = f(n-m, m) + f(n, m-1)。其中f(n-m,m)表示包含m的划分，f(n,m-1)表示不包含m的划分。

代码：

　　根据上面的递推式，同样可以写出递归和递推的代码。

　　递归代码仍然存在重复计算，时间代价大。

　　递推代码就是计算f(1,1)到f(n,n)的过程，所以时间和空间复杂度都是O(n^2)，而且由于f(n,m)是和f(n-m,m)、f(n,m-1)，所以不太适合进行空间复杂度的优化。

　　代码见github:整数划分1