算法笔记——硬币找零之最少硬币数

题目来源：NYOJ995

问题描述：

　　在现实生活中，我们经常遇到硬币找零的问题，例如，在发工资时，财务人员就需要计算最少的找零硬币数，以便他们能从银行拿回最少的硬币数，并保证能用这些硬币发工资。

　　我们应该注意到，人民币的硬币系统是 100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，

0.02，0.01 元，采用这些硬币我们可以对任何一个工资数用贪心算法求出其最少硬币数。 

但不幸的是： 我们可能没有这样一种好的硬币系统， 因此用贪心算法不能求出最少的硬币数，甚至有些金钱总数还不能用这些硬币找零。例如，如果硬币系统是 40，30，25 元，那么 37元就不能用这些硬币找零；95 元的最少找零硬币数是 3。又如，硬币系统是 10，7，5，1元，那么 12 元用贪心法得到的硬币数为 3，而最少硬币数是 2。 

　　你的任务就是：对于任意的硬币系统和一个金钱数，请你编程求出最少的找零硬币数；

　　如果不能用这些硬币找零，请给出一种找零方法，使剩下的钱最少。 （很多题目不需要考虑这种情况）

输入：

　　多组测试数据，每组如下：

　　第 1 行，为 N 和 T，其中 1≤N≤50 为硬币系统中不同硬币数；1≤T≤100000 为需要用硬币找零的总数。 
　　第 2 行为 N 个数值不大于 65535 的正整数，它们是硬币系统中各硬币的面值。
　　当N，T同时为0时结束。

输出：

　　如 T 能被硬币系统中的硬币找零，请输出最少的找零硬币数。 
　　如 T 不能被硬币系统中的硬币找零，请输出剩下钱数最少的找零方案中的最少硬币数。

分析：

　　假设N种硬币面值按升序排序后，依次为v1, v2, ……vn，用f(t)表示找零总数为t时需要的最少硬币数，当f(t) = 0时，表示不能用这些硬币组合出t。

　　对于找零总数T，可以分解成 T = (T - vi) + vi, (其中i = 1 ……n)。因此，可以得到递推关系式：

　　　　f(T) = min( f(T - vi)) + 1, （其中i = 1 …… n)

　　初始条件：

　　　　f(vi) = 1 (其中i  =1 ……n)，

　　　　当t < v1时，f(t) = 0;

代码：

　　1、递归：（自顶向下，从大到小）

　　　　由上面递推关系式和初始条件，可以简单写出递归程序解决此题。由于递归过程存在大量的重复计算。因此可以设置全局的标记数组作为备忘录，避免重复的计算。

　　　　但是由于题目要求“如果不能用这些硬币找零，请给出一种找零方法，使剩下的钱最少”，这就使得采用递归方法，如果f(T) = 0时，需要继续计算f(T-1), f(T-2)……,直到得到f(T-i) !=0。

　　2、递推：（自底向上，从小到大）

　　　　由递推关系式：f(T) = min( f(T - vi)) + 1, 其中T-vi < T是恒成立，因此可以保证从小大到递推，在计算f(T)时，f(T-vi)的值已经得到。

　　　　由于f(T)的值需要有f(T-vi)的值得到，因此递推方法需要数组记录f(1)……f(T)的值，这样当f(T) = 0时，可以从f(T)向下遍历数组，找到第一个f(t) !=0 即可。

　　　　在递推过程中，还可以通过数组记录，得到每个T是由哪种方式组合得到，使得需要硬币数最少

　　　　递推代码见github:硬币找零之最少硬币数目