2018-2019 ACM-ICPC, China Multi-Provincial Collegiate Programming Contest

目录

• Contest Info
• Solutions
  • A. Maximum Element In A Stack
  • B. Rolling The Polygon
  • C. Caesar Cipherq
  • D. Take Your Seat
  • E. 2-3-4 Tree
  • F. Moving On
  • G. Factories
  • H. Fight Against Monsters
  • J. Nested Triangles
  • K. Vertex Covers
  • L. Continuous Intervals

Contest Info

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[Practice Link](https://codeforces.com/gym/102222)

Solved	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
12/13	O	O	O	O	Ø	O	O	O	Ø	Ø	O	Ø	-

• O 在比赛中通过
• Ø 赛后通过
• ! 尝试了但是失败了
• - 没有尝试

Solutions

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A. Maximum Element In A Stack

题意：
维护一个栈，有\(POP\)和\(PUSH\)两种操作，每次操作完后输出栈中最大的元素是多少。

思路：
用栈维护一个二元组\((a, b)\)，\(a\)表示当前的数值，\(b\)表示当前数字以及之前\(PUSH\)进来的数字中最大的是多少。
显然每次\(PUSH\)的时候可以通过转移得到当前的\(b\)。
那么每次答案就是栈顶的\(b\)

B. Rolling The Polygon

C. Caesar Cipherq

签到。

D. Take Your Seat

题意：
第一个问题：
有\(n\)个人坐飞机，他们的上机顺序是\(1 - n\)，第一个人忘记了自己坐哪儿，其他人都知道自己的位置是哪里。

• 那么第一个人会随机选在一个位置坐下
• 其他人上机时，如果自己的位置没有被坐，那么它们会坐自己的位置，否则会随机选择一个空位坐下
• 询问最后一个上飞机的人坐在自己位置上的概率是多少

第二个问题：

• 在第一个问题的基础上，将上机顺序从\(1 - n\)改成随机

思路：
第一个问题：
在所有情况中，编号为\(n\)的人坐在自己位置上的情况数是一半，所以概率都是\(\frac{1}{2}\)。
第二个问题：

• 考虑只有当编号为\(1\)的人最后一个上飞机的时候，那么最后一个上飞机的人坐在自己位置上的概率是\(1\)
• 其他情况都是\(\frac{1}{2}\)(其实是第一种情况的扩展)
• 那么编号为\(1\)的人最后一个上飞机的方案数是\((n - 1)!\)
• 所以答案为：

\[\begin{eqnarray*} \frac{(n - 1)!}{n!} + \frac{(n - 1)(n - 1)!}{2n!} = \frac{n + 1}{2n} \end{eqnarray*} \]

E. 2-3-4 Tree

题意：
模拟2-3-4树。

• 2-3-4树是一棵搜索树，并且所有叶子结点的深度相同
• 按如下程序插入一个数字：
  • 如果当前结点是一个4-node，那么将中间值删除，并且将移除中间值后的3-node分裂成两个2-node
  • 如果当前结点是根节点，那么新建一个结点，值为中间值，两个儿子为分裂成的两个2-node，新建的结点为根，然后将当前结点置位根
  • 否则将中间值合并给它的父亲，然后将当前结点置位其父亲
  • 如果当前结点是一个叶子结点，直接插入
  • 否则，按照搜索树的搜索流程找到一个叶子结点

思路：
模拟即可。

F. Moving On

题意：
给出\(n\)个点，每次询问\((u, v, w)\)表示\(u \rightarrow v\)中，经过的点的权值不超过\(w\)的最短路径是多少

思路：
考虑\(Floyd\)的\(DP\)过程\(f[k][i][j]\)表示经过前\(k\)个点的\(i \rightarrow j\)的最短路径是多少
那么将询问按\(w\)排序，并且将点也按\(w\)排序，然后每次询问前将还没有转移的小于当前询问的\(w\)的所有点进行转移

G. Factories

题意：
给出一棵树，选择\(k\)个叶子结点，使得\(k\)个叶子中任意两个点之间的距离之和最小

思路：
考虑\(f[u][i]\)表示\(u\)这个子树中选择了\(i\)个点的最小代价
那么枚举一个儿子\(v\)的转移如下：

\[\begin{eqnarray*} f[u][i] = min(f[u][i], f[u][i - j] + f[v][j] + w * j * (k - j)) \end{eqnarray*} \]

记得转移的时候加入剪枝：

• 对于\(u\)来说，转移的\(i\)的上限是\(k\)和\(sze[u]\)取Min
• 对于\(v\)来说，如果某个状态是不合法的，那么后面的状态都不用转移
  复杂度不清楚，但是不是\(O(nk^2)\)

H. Fight Against Monsters

题意：
有\(n\)个怪兽，每个怪兽有生命值\(a_i\)和攻击力\(b_i\)，打每个怪兽是第\(i\)秒打\(i\)点伤害，所有怪兽从一开始就围攻你，每秒造成\(b_i\)点伤害，问你如果消灭这些怪兽使得你受到的伤害最少？

思路：
首先可以对每个怪兽算出\(t_i\)，那么考虑两个怪兽\(i\)和\(j\)，我们先打哪个，我们假设先打\(i\)，那么受到的伤害是：

\[\begin{eqnarray*} pre = b_it_i + b_j(t_i + t_j) \end{eqnarray*} \]

如果后打，那么受到的伤害是：

\[\begin{eqnarray*} nx = b_i(t_i + t_j) + b_jt_j \end{eqnarray*} \]

按\(pre < nx\)排序即可确定打怪顺序

J. Nested Triangles

题意：
给出两个点\(P\)和\(Q\)，以及若干个点\(A_i\)，要求选出尽量多的点\((v_1, v_2, \cdots)\)，使得\(A_{v_i}\)内含于\(PQA_{v_{i - 1}}\)
如果有多种方案，输出字典序最小的

思路：

• 先将所有点按是在直线\(PQ\)的两侧分为两堆，然后分别考虑
• 考虑一个点\(i\)内含于三角形\(PQA_{v_j}\)，那么有\(\angle_{PQA_{v_i}} < \angle_{PQA_{v_j}}\)以及\(\angle_{QPA_{v_i}} < \angle_{QPA_{v_j}}\)
• 但是不能直接存角度，这样可能会有精度问题，我们可以通过对\(P\)和\(Q\)的极角排序，对每个点进行离散化。
• 那么就转换成了一个二维偏序问题
• 字典序最小其实是个经典操作，按\(dp\)值分类，然后贪心取即可

K. Vertex Covers

L. Continuous Intervals

题意：
给出\(n\)个数，要求询问有多少个子区间满足：

\[\begin{eqnarray*} Max - Min + 1 = DISTINCT \end{eqnarray*} \]

\(Max\)表示区间最大值，\(Min\)表示区间最小值，\(DISTINCT\)表示区间不同数的个数

思路：
考虑用线段树维护这个式子，然后枚举右端点，考虑更新每个左端点的这个式子。

• 对于最大最小值的更新，可以维护两个单调栈
• 对于区间不同数的维护可以开个\(map\)记录一下上次出现的位置
• 然后注意到对于每个区间都有\(Max - Min - DISTINCT \geq 1\)
• 那么线段树维护一个区间最小值以及区间最小值的个数，如果区间最小值是\(-1\)，那么这些个数就是有用的