【牛客小白月赛16】H 小阳的贝壳
题意：
维护一个序列\(a_i\)，支持三种操作：
- \(1\;l\;r\;x\)，给区间\([l, r]\)的所有数\(+x\)
- \(2\;l\;r\) 询问区间\([l, r]\)所有相邻贝壳颜色值的差的绝对值
- \(3\;l\;r\) 询问区间\([l, r]\)所有数的最大公约数
思路：
其实最难的第三个操作怎么维护。
考虑
\[\begin{eqnarray*}
gcd(a, b) = gcd(a, b - a)
\end{eqnarray*}
\]
那么可以扩展一下即为
\[\begin{eqnarray*}
gcd(a, b, c) = gcd(a, b - a, c - b)
\end{eqnarray*}
$$，
那么我们在线段树中维护一个后向差分数组，那么区间修改就变成了单点修改，就很容易维护区间$gcd$了，止于第二个操作，其实就是差分的绝对值的最大值。
注意最后$gcd$要取绝对值。
代码:
```c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 100010
int n, q, a[N], b[N];
int gcd(int a, int b) {
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
struct SEG1 {
struct node {
ll sum;
int cnt, lazy, l, r, Max;
node() {
sum = cnt = lazy = 0;
l = r = Max = 0;
}
void add(int x) {
sum += 1ll * cnt * x;
lazy += x;
l += x;
r += x;
}
node operator + (const node &other) const {
node res = node();
res.sum = sum + other.sum;
res.cnt = cnt + other.cnt;
res.l = l;
res.r = other.r;
res.Max = max(Max, other.Max);
res.Max = max(res.Max, abs(r - other.l));
return res;
}
}t[N << 2], res;
void build(int id, int l, int r) {
if (l == r) {
t[id] = node();
t[id].sum = a[l];
t[id].cnt = 1;
t[id].l = t[id].r = a[l];
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(id << 1, l, mid);
build(id << 1 | 1, mid + 1, r);
t[id] = t[id << 1] + t[id << 1 | 1];
}
void down(int id) {
int &lazy = t[id].lazy;
if (!lazy) return;
t[id << 1].add(lazy);
t[id << 1 | 1].add(lazy);
lazy = 0;
}
void update(int id, int l, int r, int ql, int qr, int x) {
if (l >= ql && r <= qr) {
t[id].add(x);
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
down(id);
if (ql <= mid) update(id << 1, l, mid, ql, qr, x);
if (qr > mid) update(id << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr, x);
t[id] = t[id << 1] + t[id << 1 | 1];
}
node query(int id, int l, int r, int ql, int qr) {
if (l >= ql && r <= qr) return t[id];
int mid = (l + r) >> 1;
down(id);
if (ql <= mid && qr > mid) {
node L = query(id << 1, l, mid, ql, qr);
node R = query(id << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr);
return L + R;
} else if (ql <= mid) {
return query(id << 1, l, mid, ql, qr);
} else if (qr > mid) {
return query(id << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr);
} else {
assert(0);
}
}
}seg1;
struct SEG2 {
int t[N << 2];
void build(int id, int l, int r) {
if (l == r) {
t[id] = b[l];
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(id << 1, l, mid);
build(id << 1 | 1, mid + 1, r);
t[id] = gcd(t[id << 1], t[id << 1 | 1]);
}
void update(int id, int l, int r, int x, int v) {
if (l == r) {
t[id] += v;
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
if (x <= mid) update(id << 1, l, mid, x, v);
else update(id << 1 | 1, mid + 1, r, x, v);
t[id] = gcd(t[id << 1], t[id << 1 | 1]);
}
int query(int id, int l, int r, int ql, int qr) {
if (ql > qr) return 0;
if (l >= ql && r <= qr) return t[id];
int mid = (l + r) >> 1;
int res = 0;
if (ql <= mid) res = gcd(res, query(id << 1, l, mid, ql, qr));
if (qr > mid) res = gcd(res, query(id << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr));
return res;
}
}seg2;
int main() {
while (scanf("%d%d", &n, &q) != EOF) {
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%d", a + i);
b[i] = a[i] - a[i - 1];
}
seg1.build(1, 1, n);
seg2.build(1, 1, n);
int op, l, r, x;
while (q--) {
scanf("%d%d%d", &op, &l, &r);
switch(op) {
case 1 :
scanf("%d", &x);
seg1.update(1, 1, n, l, r, x);
seg2.update(1, 1, n, l, x);
if (r < n) seg2.update(1, 1, n, r + 1, -x);
break;
case 2 :
seg1.res = seg1.query(1, 1, n, l, r);
printf("%d\n", seg1.res.Max);
break;
case 3 :
seg1.res = seg1.query(1, 1, n, l, l);
printf("%d\n", abs(gcd(seg1.res.sum, seg2.query(1, 1, n, l + 1, r))));
break;
}
}
}
return 0;
}
```\]
