P3239 [HNOI2015]亚瑟王 期望dp

这个题一看就是期望dp，但是我有个问题，一个事件的期望等于他所有事件可能行乘权值的和吗。。。为什么我有天考试的时候就不对呢。。。求大佬解释一下。

至于这道题，f[i][j]代表前i个有j个发动技能，这个题的关键在于其实人和人之间发技能的顺序无所谓，重点在于最终r轮之后发没发技能，所以r轮只是一个用于计算可能性的东西，我们不去枚举它，这样的话这道题就很好想了，这个题也算是套路吧。

题干：

题目描述

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了，洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。他决定，在脱坑之前，最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战，就一定要打得漂亮。众所周知，亚瑟王是一个看脸的游戏，技能的发动都是看概率的。

作为一个非洲人，同时作为一个前 OIer，小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已经多年没写过代码，连 Spaly都敲不对了，因此，希望你能帮帮小 K，让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。

本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。 玩家有一套卡牌，共 n张。游戏时，玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序，排列后将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~ n。本题中，顺序已经确定，即为输入的顺序。每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi，如果成功发动，则会对敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能，卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小K非洲血统的考虑，pi不会为 0，也不会为 1，即 0 < pi < 1。 一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中，系统将从第一张卡牌开始，按照顺序依次考虑每张卡牌。在一轮中，对于依次考虑的每一张卡牌：

1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能，则

1.1 如果这张卡牌不是最后一张，则跳过之（考虑下一张卡牌）； 否则（是最后一张），结束这一轮游戏。

2否则（这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能），设这张卡牌为第 i 张

2.1将其以 pi的概率发动技能。

2.2如果技能发动，则对敌方造成 di点伤害，并结束这一轮。

2.3如果这张卡牌已经是最后一张（即 i 等于n），则结束这一轮；否则，考虑下一张卡牌。

请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。
输入输出格式
输入格式：

输入文件的第一行包含一个整数 T，代表测试数据组数。 接下来一共 T 组数据。 每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 n和r，分别代表卡牌的张数和游戏的轮数。 接下来 n行，每行包含一个实数和一个整数，由空格隔开，描述一张卡牌。第i 行的两个数为 pi和 di，分别代表第 i 张卡牌技能发动的概率（实数）和技能发动造成的伤害（整数）。保证 pi最多包含 4位小数，且为一个合法的概率。

输出格式：

对于每组数据，输出一行，包含一个实数，为这套卡牌在这一局游戏中造成的伤害的期望值。对于每一行输出，只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过10^-8时——即|a-o|/a<=10-8时(其中a是标准答案，o是输出)，你的输出才会被判为正确。建议输出10 位小数。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define duke(i,a,n) for(register int i = a;i <= n;++i)
#define lv(i,a,n) for(register int i = a;i >= n;--i)
#define clean(a) memset(a,0,sizeof(a))
const int INF = 1 << 30;
typedef long long ll;
typedef double db;
template <class T>
void read(T &x)
{
    char c;
    bool op = 0;
    while(c = getchar(), c < '0' || c > '9')
        if(c == '-') op = 1;
    x = c - '0';
    while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')
        x = x * 10 + c - '0';
    if(op) x = -x;
}
template <class T>
void write(T x)
{
    if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if(x >= 10) write(x / 10);
    putchar('0' + x % 10);
}
const int N = 250;
db f[N][N],p[N],g[N];
int d[N];
int t,n,r;
db qpow(db a,int b)
{
    db tot = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            tot *= a;
        }
        a *= a;
        b >>= 1;
    }
    return tot;
}
int main()
{
    read(t);
    while(t--)
    {
        clean(f);clean(g);
        read(n);read(r);
        duke(i,1,n)
        {
            scanf("%lf%d",&p[i],&d[i]);
        }
        if(r == 0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        f[1][0] = qpow(1 - p[1],r);
        f[1][1] = g[1] = 1 - f[1][0];
        duke(i,1,n)
        {
            duke(j,0,min(r,i))
            {
                if(j)
                f[i][j] += f[i - 1][j - 1] * (1 - qpow(1 - p[i],r - j + 1));
                if(i != j)
                f[i][j] += f[i - 1][j] * qpow(1 - p[i],r - j); 
            }
        }
        duke(i,2,n)
        {
            duke(j,0,min(i - 1,r))
            {
                g[i] += f[i - 1][j] * (1 - qpow(1 - p[i],r - j));
            }
        }
        db ans = 0;
        duke(i,1,n)
        ans += g[i] * (db)d[i];
        printf("%.10lf\n",ans);
    }
    return 0;
}