NOIP训练赛#21

时间安排

7:40~8:55 :写完T1正解

9:00~9:20 :写完T2暴力

9:20~10:30 :想T2正解,没思路

10:30~11:00 :写T3暴力

11:00~11:30 :写T4 $30pts$ ,但是分讨没讨全,挂了

11:30~11:40 :写T2的一档特殊数据

总结 :有限打完暴力,否则最后会时间不够写暴力,最后再想正解

题解

T1

超级源点 $+$ $dijkstra$

T2

计数好题

设极长合法子串 $(i,j)$ 表示不可再向两边扩展的合法子串

设原序列一共有 $cnt$ 个子串,每个子串中 $1$ 的个数为 $len$

先不考虑算重的情况,则总方案数为 $\sum _{x=1}^{cnt}{C}_{j_x-i_x+1}^{len}$

考虑两段极长合法子串 $(l_1,r_1),(l_2,r_2)(l_1\le l_2\le r_1\le r_2)$ ,则当变换区间包含 $(l_1,l_2)$ 或 $(r_1,r_2)$ 时,两者方案一定不同(一个变了一个没变)
故答案减去 $C_{r_1-l_2+1}^{len}$ 即可

复杂度 $O(n^2)$ 考虑优化

考虑每次寻找区间内有 $k$ 个 $1$ 的操作完全可以预处理 $1$ 的位置( $num$ 数组),然后每次的极长合法子串的下标即为 $(nu{m}_{i-1}+1,nu{m}_{i+k}-1)$ ,复杂度可优化为 $O(n)$

但是考虑每一次处理组合的时候会算重不变的情况,故要减 $1$ ,然后去重的时候还需要加 $1$ ,最后答案需要加 $1$

T3

$dijkstra$ $+$ 最短路径图好题

先对 $S,U,V$ 三个点跑最短路

考虑 $U\to V$ 的最短路和 $S\to T$ 的最短路的交集一定是连续的(边权皆为正),那么可以 $O(n^2)$ 枚举路径 $P\to Q$ 并计算 $mindi{s}_{S\to P}+di{s}_{Q\to V}$

考虑优化,显然可以发现最短路径图构成了一张 $DAG$ ,故设 $f_x$ 表示 $\min{dis_{S\rightarrow P}}\ $,$g_x$\mathrm{表}\mathrm{示}$\min{dis_{Q\rightarrow V}}\ $ ,扩展的时候判断当前点是否属于最短路径图即可( $di{s}_{S\to v}+(v,x)=di{s}_{S\to x}$ )

T4

点分治好题

考虑答案有两种情况,一种是不动,另一种是逃跑到一个能最晚被抓住的点然后不动

考虑设 $f_i$ 表示当 $A$ 在点 $i$ 时, $B$ 抓住 $A$ 的最短时间,先计算第一种情况(用 $bfs$ 实现)

考虑计算第二种情况,可以用点分治来实现,考虑若 $de{p}_x<f_x$ 时, $A$ 在 $x$ 可以在 $B$ 来之前逃跑,而能跑到的点则为深度为 $f_x-de{p}_x-1$(减 $1$ 是减去当前根节点) 的所有节点,设 $b_i$ 表示深度为 $i$ 的节点被抓的最晚时间,故 $b_i=max(f_x)(f_x>de{p}_x\wedge f_x-de{p}_x-1=i)$

最后对于 $b$ 数组做一遍后缀和,然后用 $b$ 数组更新所有深度为 $i$ 的节点的答案即可