BZOJ[1367][Baltic2004]Sequence 可并堆

先考虑两种特殊情况：
①若\(t_1<t_2<t_3<…<t_n\)
则对于每一个\(z_i=t_i\)，此时最小\(R\)为\(0\)
②若\(t_1>t_2>t_3>…>t_n\)
则对于每一个\(z_i=(t_1…t_n)\)的中位数，此时\(R\)最小，
下面是我瞎证明的过程：

对于情况②，我们对每一个\(z_i\)取中位数(红色部分)，则\(R\)为这些绿色部分



如改变所取的值(如图，取较大于中位数的数)，则会发现前面的数减少了棕色部分，后面的数减小了紫色部分，发现这两部分事实上是相等的，前后的总和并没有改变，但R值却多了中间的那一部分(画圈部分)，得证，偶数情况与其类似，在此不做赘述


我们可以将原序列分割成许多单调递减的序列，这些序列所有数都取他们的中位数
但是我们要求的是上升序列而不是不下降序列，所以需要将输入的\(t_i\)处理成\(t_i-i\)


首先我们把\(a_k+_1\)作为一个新区间直接加入队尾，令\(w_m+_1=a_k+_1\)，然后不断检查队尾两个区间的中位数\(w_m\)和\(w_m+_1\)，如果\(w_m>w_m+_1\)，我们需要将最后两个区间合并，并找出新区间的最优解（也就是序列a中，下标在这个新区间内的各项的中位数）。重复这个合并过程，直至\(w_1≤w_2≤…≤w_m\)时结束，然后继续处理下一个数。


代码如下：

#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#define N 1000600
using namespace std;
int size[N],ch[N][2],a[N],root[N],l[N],r[N],tot[N],top,n;
long long ans=0ll;
int merge(int x,int y){
    if(!x) return y;if(!y) return x;
    if(a[x]<a[y]) swap(x,y);
    ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);
    size[x]=size[ch[x][1]]+size[ch[x][0]]+1;
    swap(ch[x][0],ch[x][1]);
return x;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i),a[i]-=i;//要求单调递增
    for(int i=1;i<=n;i++){//root:这段区间的中位数
        l[++top]=r[top]=root[top]=i;//l:这段区间包含的最左边的点,r：这段区间包含的最右边的点
        tot[top]=size[i]=1;//tot:这个区间包含多少个数 size:
        while(top>1&&a[root[top-1]]>a[root[top]]){
            r[--top]=r[top+1]; tot[top]+=tot[top+1];
            root[top]=merge(root[top],root[top+1]);//将这个点合并到上一个序列里
            //下面的过程是将中位数调到堆顶(不断删除堆顶)
            while(size[root[top]]*2>tot[top]+1) root[top]=merge(ch[root[top]][0],ch[root[top]][1]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=top;i++)
        for(int j=l[i];j<=r[i];j++)
            ans+=(long long)abs(a[j]-a[root[i]]);
return printf("%lld",ans),0;
}