BZOJ 3714 PA2014 Kuglarz

【题解】

　　我们用sum[i]表示1~i的奇偶性，这样，我们要知道每个点的情况就必须知道每一个sum[i].

　　如果我们当前已知sum[i-1]，我们就可以通过查询i~j的情况知道sum[j]，即查询i~j的操作是sum[i-1]与sum[j]相互转化的途径。那么我们可以把查询操作当成一条连接i-1与j的边，这条边的边权是查询代价c[i][j].  那么我们跑一遍最小生成树使得0~n这n+1个点互相联通即可得到所有的sum. 因为计算sum[i]的值的过程可以用0号点到i号点的简单路径表示。即如果0到i的简单路径是0-->5-->6-->2，那么sum[2]的计算过程就是已知sum[0]，通过查询0~5得到sum[5]，再通过查询5~6得到sum[6]，最后通过查询2~6得到sum[2].

　　那么为什么这样做就是代价最小的？即如果不求出每个点的sum，会不会存在比这种做法代价更小的查询方式？答案是不存在。因为要知道每个点的情况，我们必须把原序列划分成n个区间，也就是说我们最少要查询n次，并且这n次的效果不能重叠，即如果查询了1~5和1~3，我们一定不会查询4~5。在最小生成树中，我们也是选择最小的n条边使n+1个点联通，因此这种做法就是最优做法。而其实求每个点的sum是求每个点的奇偶性的充分必要条件，即两者是等价的，代价最小的查询方案是相同的。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N (2010)
using namespace std;
int n,m,fa[N],cnt;
long long ans=0;
struct edge{int u,v,dis;}e[N*N];
inline int read(){
	int k=0,f=1; char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')c=='-'&&(f=-1),c=getchar();
	while('0'<=c&&c<='9')k=k*10+c-'0',c=getchar();
	return k*f;
}
bool cmp(edge x,edge y){return x.dis<y.dis;}
int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
int main(){
	n=read(); 
	for(int i=0;i<=n;i++) fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=i;j<=n;j++){
		e[++m].u=i-1; e[m].v=j; e[m].dis=read();
	}
	sort(e+1,e+1+m,cmp);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u=find(e[i].u),v=find(e[i].v);
		if(u==v) continue;
		ans+=e[i].dis; fa[u]=v; cnt++;
		if(cnt==n) break;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}