洛谷 1776 宝物筛选 【多重背包+二进制拆分】

【题解】

　　显然是个多重背包。但直接写背包会超时。所以我们试着优化。

　　怎么优化？我们发现，每个物品的个数$ai$可以拆分成几个数的和，用这些数中的某几个之和可以表示出$1$到$ai$的所有整数，并且不会超过$ai$

　　这样我们可以把ai个相同的物品拆分成若干个互相独立的物品，然后跑01背包。

　　那么如何对$ai$进行拆分？拆分出来的数就是相加起来不超过$ai$的2的$i$次幂以及$ai$减去2的$i$次幂之和的结果。

　　例如我们可以把19拆分成$1,2,4,8,3$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,w,f[200010];
inline int read(){
    int f=1,k=0; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')c=='-'&&(f=-1),c=getchar();
    while('0'<=c&&c<='9')k=k*10+c-'0',c=getchar();
    return k*f;
}
int main(){
    n=read(); w=read();
    while(n--){
        int vi=read(),wi=read(),ai=read(),i;
        for(i=0;((1<<(i+1))-1)<=ai;i++){
            for(int j=w;j>=(wi<<i);j--)
            f[j]=max(f[j-(wi<<i)]+(vi<<i),f[j]);
        }
        int tmp=ai-(1<<i)+1;
        vi=vi*tmp; wi=wi*tmp;
        for(int j=w;j>=wi;j--) f[j]=max(f[j-wi]+vi,f[j]);
    }
    printf("%d\n",f[w]);
    return 0;
}