第三章 右线性文法和有限自动机

右线性文法和有限自动机

目录

• 右线性文法和有限自动机
  • 有限状态系统的概念
  • 有限自动机的概念
  • 确定有限自动机
  • 不确定有限自动机
  • NFA 和 DFA 的等价性
  • 有 $\epsilon$ 转换的 NFA

有限状态系统的概念

状态：状态是可以将事物区分开的一种标识

离散状态系统：状态数有限，不能连续变化

连续状态系统：状态可以连续变化，状态数无限

有限状态系统必然是离散状态系统

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有限自动机的概念

• 具有离散输入输出的系统的一种数学模型（可以没有输入和输出）
• 有限的状态
• 状态 + 输入 -> 状态转移
  • 确定有限状态自动机（DFA）：在特定输入下，每次转换的后继状态唯一
  • 不确定有限状态自动机（NFA）：在特定输入下，每次转换的后继状态不唯一

有限自动机的五要素

• 有限状态集
• 有限输入符号集
• 转移函数
• 开始状态
• 终态集合

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确定有限自动机

DFA 的形式定义

DFA 是一个五元组$M=(Q,T,\delta ,q_0,F)$

• Q：有限的状态集合
• T：有限的输入字母表
• $\delta$：转换函数
• $q_0\in Q$：初始状态
• $F\subseteq Q$：终止状态集

扩展转移函数适合于输入字符串

${\delta }^{\prime }:Q\times T\to Q$

对于$\mathrm{\forall }q\in Q$，有

• ${\delta }^{\prime }(q,ϵ)=q$
• w 是字符串，a是字符，${\delta }^{\prime }(q,wa)=\delta ({\delta }^{\prime }(q,w),a)$

DFA 接受的语言

• DFA 接受的字符串：输入结束后使 DFA 到达终止状态的字符串
• DFA 接受的语言：被 DFA 接受的字符串的集合
• $L(A)=\{w|{\delta }^{\prime }(q_0,w)\in F\}$

格局：描述有限自动机某一个时刻的工作状态

• 由当前状态 q 和待输入字符串 w 构成
• 初始格局：$(q_0,w)$
• 终止格局：$(q,ϵ),q\in F$

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不确定有限自动机

NFA 的形式定义：后继状态是 Q 的子集，其余和 DFA 一样

NFA 接受的字符串：接收一个字符串后 NFA 进入的状态集包含一个或以上的终止状态，则 NFA 接受该字符串

NFA 的状态转移函数扩展

• ${\delta }^{\prime }(q,ϵ)=q$ 空串状态不变
• ${\delta }^{\prime }(q,wa)=\{p|\text{exist}r\in {\delta }^{\prime }(q,w)\cap p\in \delta (r,a)\}$
  • 含义：${\delta }^{\prime }(q,wa)$ 对应的状态集合是 ${\delta }^{\prime }(q,w)$ 对应的状态集合的每一个状态再接收字符 a 后到达的状态集合的并集

NFA 接受的语言：$L(A)=\{w|{\delta }^{\prime }(q_0,w)\cap F\ne \varphi \}$

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NFA 和 DFA 的等价性

显然，DFA 可以看作是 NFA 的特例（状态子集只含有一个状态）

所以只需证明 NFA 可以转化成 DFA

定理：$\mathrm{\forall }NFA\mathrm{接}\mathrm{受}\mathrm{语}\mathrm{言}L,\text{exist}DFA\mathrm{接}\mathrm{受}\mathrm{语}\mathrm{言}L$

证明：子集构造法

$$\begin{gathered} \mathrm{某}\mathrm{个}NFA{M}_N=(Q,T,\delta ,q_0,F)，\mathrm{构}\mathrm{造}DFA{M}_D=(Q_D,T,{\delta }_D,q_0,F_D) \\ {Q}_D=2^Q\mathrm{即}\mathrm{把}\mathrm{原}\mathrm{有}\mathrm{状}\mathrm{态}\mathrm{集}\mathrm{合}\mathrm{的}\mathrm{幂}\mathrm{集}\mathrm{作}\mathrm{为}\mathrm{新}\mathrm{的}\mathrm{状}\mathrm{态}\mathrm{集}\mathrm{合} \end{gathered}$$

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有 $\epsilon$ 转换的 NFA

定义：当输入 $\epsilon$ 空串（无输入）的时候，也能引起状态转移

$\epsilon$ 闭包的概念

定义：一个状态 q 的 $\epsilon$ 闭包是状态 q 经过 $\epsilon$ 可以到达的所有状态（每个状态接收 $\epsilon$ 都可以保持不变）

一个状态集 I 的 $\epsilon$ 闭包就是每个状态的 $\epsilon$ 闭包的并集，记为 $\epsilon -Closure(I)$

Ia 的概念：

对于状态子集 $I\in Q,\mathrm{\forall }a\in T;Ia=\epsilon -Closure(P),P=\delta (I,a)$，即状态集 I 经过标 a 的边可以到达的状态集的 $\epsilon$ 闭包

$\epsilon$ - NFA 的状态转移函数扩展

• ${\delta }^{\prime }(q,ϵ)=\epsilon -Closure(q)$ 空串状态转移成空闭包
• ${\delta }^{\prime }(q,wa)=\epsilon -Closure(p),\{p|\text{exist}r\in {\delta }^{\prime }(q,w)\cap p\in \delta (r,a)\}$
  • 含义：${\delta }^{\prime }(q,wa)$ 对应的状态集合是 ${\delta }^{\prime }(q,w)$ 对应的状态集合的每一个状态再接收包含空转换的字符 a 后到达的状态集合的并集的 $\epsilon$ 闭包

$\epsilon$ - NFA 接受的语言：$L(A)=\{w|{\delta }^{\prime }(q_0,w)\cap F\ne \varphi \}$（与 NFA 一样，但是 ${\delta }^{\prime }$ 函数的定义不一样）