数组和广义表

数组和广义表

目录

• 数组和广义表
  • 数组的定义和实现
  • 矩阵的压缩存储
  • 广义表的定义和实现

数组的定义和实现

任意一个数组都可以看成是一个线性表

n 维数组：每个元素是一个 n-1 维数组的线性表

数组的顺序存储（假设数组为 a[m][n][q]）

• 行序为主序：低下标优先，$a[i][j][k]=a+i\times m+j\times n+k$
• 列序为主序：高下标优先，$a[i][j][k]=a+k\times q+j\times n+m$

---

矩阵的压缩存储

对称矩阵（$a_{ij}=a_{ji}$）：只存储主对角线及其上方或下方的元素

三角矩阵（对角线上方或下方的元素全都为常数）：在起始地址存储这个常数，其余类似对称矩阵处理

带状矩阵

• 特点：非零元素集中在主对角线两侧共 L 条对角线带状区域称为 L 对角矩阵
• 存储方法：只存储带状区域内的元素
  • 以对角线的顺序存储，共 $L\times n$ 个元素，转换公式
  $$\{\begin{array}{l}{i}_{new}=i-j\\ j_{new}=j\\ |i-j|\le (L-1)/2\end{array}$$
  • 从上一行主对角线元素 $a_{i-1,i-1}$（含）到本行的主对角线元素 $a_{i,i}$（不含）一共最多 L 个元素，共 $(n-1)L+1$ 个元素，计算公式
  $$\{\begin{array}{l}k=(i-1)L+(j-i)\\ |i-j|\le (L-1)/2\end{array}$$

随机稀疏矩阵

• 特点大多数元素为 0
• 存储方法：存储每一个非零元素 (i,j,$a_{ij}$)
  • 顺序存储：三元表法，结构体数组，每个结构体包含该元素的行，列，大小
  • 链式存储：十字正交链表，在行列方向上将元素链接在一起，每一行每一列都组成一个链表，每个元素有两个指针，一个指向该行下一个元素，一个指向该列下一个元素

三元表存储的矩阵的快速转置算法

• 引入两个辅助数组，num[col] 记录 col 列的非零元素的个数，cpot[col] 记录每列的下一个非零元素在转置矩阵的位置，例如 cpot[3] = 4 代表下一个原矩阵第 3 列的非零元素在转置矩阵的序号是第 4 个
• 计算方法：$cpot[1]=1,cpot[col]=cpot[col-1]+num[col-1](2\le col\le m)$

参考代码文件：Transport_Matrix.h

---

广义表的定义和实现

广义表：由零个或多个原子或子表组成的有限序列

• 原子：逻辑上不能再分解的元素
• 子表：作为广义表中元素的广义表

线性表是特殊的广义表（当广义表中的元素全都是原子时）

广义表的相关概念

• 长度：表中元素的个数
• 深度：最深的嵌套层数
• 表头：第一个元素
• 表尾：除了第一个元素之外的元素所组成的新的广义表

广义表的表尾一定是广义表

广义表的存储结构

• 头尾链表：两种节点，tag = 1 时为表节点，含有两个分别指向表头和表尾的指针，tag = 0 时为原子节点，只含有一个数据
• 扩展的线性链表：在头尾链表的基础上，给原子节点中加入指向同一层下一个节点的指针

广义表特殊定义的好处：可以使用递归算法

• 求深度：所有元素最大深度 + 1
• 复制广义表：原子节点复制原子，表节点递归复制表头和表尾