【题解】CF1949B | 二分答案 霍尔定理

本题可以做到低于 $O(n^2)$。

最大化最小值，考虑二分答案 $v$ 变为检查可行性：每个主菜匹配的开胃菜的两个值都要在 $(-\infty,x-v],[x+v,+\infty]$ 间选取，问是否存在主菜与开胃菜的完美匹配。

对开胃菜排序，得到第 $i$ 个主菜可以匹配到的开胃菜集合为一个后缀和一个前缀：$[1,L_i]\cup [R_i,n]$。

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做法一

考虑使用霍尔定理检查完美匹配：枚举 $S$ 并检查 $|f(S)|-|S|$ 的最小值是否为 $0$，其中 $f(S)$ 表示与左部点 $S$ 存在连边的右部点集合。

枚举 $S$ 是困难的，$S$ 总共有 $2^n$ 种，不妨枚举 $f(S)$，并考虑最大的 $|S|$，首先 $f(S)$ 一定是若干前缀和后缀的并，所以 $f(S)$ 的形态为 $[1,l]\cup [r,n]$。

枚举 $l$，$r$，对于一个 $f(S)=[1,l]\cup [r,n]$ 最大的 $|S|$ 即 所有点 $u$ 满足存在连边的右部点 $e(u)\in f(S)$ 的 $u$ 构成的集合，即 $\sum[L_i\leq l\land R_i\geq r]$，直接做可以 $O(n^2\log a)$。

使用线段树在扫描 $l$ 时维护 $r$ 的答案，支持区间加区间最值，容易做到 $O(n\log n\log a)$。

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做法二，还能再快一点。

该问题弱于 AGC076F，使用反悔贪心即可。时间复杂度 $O(n\log n\log a)$，注意到每个点不能匹配的区间是单调的，所有优先队列可以换成队列，时间复杂度 $O(n\log a)$。