子集和加总问题(从洛谷博客同步)

给出 $\{a_{1\dots n}\}$，找出一个子集和为 $0$。

这是 NPC 的，当 $|a_i| \leq n$ 的时候可以 $n^3$ 背包，当然地可以使用 bitset 压位至 $\frac {n^3} w$。

值域还是太难受了，考虑怎么压下来值域，因为和为 $0$，值域又是 $n$，通过调整顺序总是存在一种方案使得值域在 $[-n,n]$。但是我们不知道这个顺序，但感觉存太大值域又没用。

所以随机一个顺序，可以证明这个时候值域期望是不大于 $O(n^{1.5})$ 的，复杂度可以做到 $O(\frac {n^{2.5}} w)$。

还能再给力一点吗？

时间复杂度 $O(nA)$，空间线性的 01 背包可行性及方案构造(Pisinger, 1999)

因为在很多情况下值域开大到 $nA$ 是很浪费的，中途偏差其实和 $s$ 差距不会太大——也总是存在一种顺序使得中途偏差不超过 $A$，前面考虑找到这样的顺序，但是发现不太现实，所以现在来考虑另一种：边加边删。

我们先随便找到一个和与 $s$ 差不超过 $A$ 的集合，然后接下来 加入其它数或者删除已经加入的数，那么这样我们考虑的值域就是 $O(A)$ 的了。

但是删除确实是一件很困难的事情，并不是所有数都能删，我们不能删除之前没加进来的数，我们也不能记录目前集合。

但是如果只在 dp 里面放一个可行性，那属实是有点浪费我们这么小的值域，而且如果要把可删除的信息放在状态里，也没法压缩复杂度。

下面是 Pisinger 最天才的想法：

于是我们来考虑记录可以删除的前缀。

$f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数，和 $j$ 的最大可删除前缀（保证是满的）的长度！

(若和无法为 $j$ 则设为 $-1$)

设初始集合为 $a_1\dots a_x$。

初始值为

$f_{x,a_k} = x$。

考虑转移：

加入一个数

$$f_{i,j} = \max\{f_{i-1,j},f_{i-1,j-a_i}\}$$

这很好理解——加入一个数就是普通的背包，求 $\max$ 形式。

$$f_{i,j - a_k} = \max \{f_{i,j-a_k} , k - 1\} \space (1\leq k \leq f_{i,j})$$

循环顺序为从大到小做（删了这个数还可能删下一个数）。

虽然有些抽象，但是还是比较好理解：枚举一个可以删去的数字——然后删掉，转移。

但是这样还是 $O(n^2A)$ 的啊——确实，因为要删很多不同的数。

所以我们给 $k$ 设置下界 $f_{i-1,j}< k \leq f_{i,j}$ 。

因为之前能删除的已经考虑过了——删除某些数后转移到了另一个值，所以我们只用考虑之前没考虑过的值即可了！因为 $f$ 值对于每一个固定的和都是不减的，所以复杂度为 $O(nA)$！

删前缀为什么对？

考虑最终状态下的后半部分选入的集合一定被 dp 决策考虑了，而前面每步一定删除到了能删除的最大位置（这个前缀一定能被拆成若干段删除或不删除的区间），如果存在合法方案，一定会被这个过程包含在内。

想看正确性严谨的证明可以去翻论文。

代码并不复杂，即使需要构造方案也可以在 20 行之内完成，在 OI 中可能有用。

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参考