【题解】AGC008F | 思维 统计技巧 换根 二次扫描

题意：给出一个 \(n\) 个点的树（边权为 \(1\)）和集合 \(S\)，求有多少个点集 \(T\) 可以被表示为离 \(S\) 中的一个点 \(u\) 距离不超过 \(d\) 的点构成的集合（下文称为 \(u\) 的 \(d\) 级邻域）。

考虑 \(S\) 为所有点的特殊情况：

我们直接求每个点邻域的个数再求和，会算重一些点集，这种情况发生仅当这个邻域在某些方向“满了”，从而可以认为是向没满的方向移动一些并把这个点当作邻域的中心。

如下图中的黑色点集既可以表示为 \(v\) 的 \(3\) 级邻域也可以表示为 \(u\) 的 \(2\) 级邻域。

于是我们考虑在点集的“中心”，即邻域的 \(d\) 最小时统计，容易发现对于所有不是全集的某个邻域，都存在唯一的一个点 \(u\) 使得邻域的 \(d\) 最小（尽可能不溢出），于是我们单独统计全集，接下来考虑枚举一个点并统计它作为中心的邻域。

令 \(f_u\) 表示 \(u\) 在树上最远点的距离，\(g_u\) 表示次远点的距离，容易换根求出 \(f_u,g_u\)。

首先 \(d\) 不能取 \(\geq f_u\) 的值，因为我们现在只统计不是全集的集合。

接下来考虑 \(u\) 是中心的条件：不能存在某个相邻的 \(v\) 使得 \(v\) 的 \(d-1\) 级领域和 \(u\) 的 \(d\) 级领域相同，可以发现这种情况仅当除了 \(v\) 方向的其它方向的子树内都是满的，显然 \(v\) 只能在 \(f_u\) 所在子树的方向，且其它方向最远距离的点的距离都 \(\leq d-2\)。（在 \(v\) 处 \(d-1\) 也能统计到）于是我们得到 \(d\) 不能取 \(\geq g_u+2\) 的值。

则 \(u\) 可以选择的 \(d\) 在 \([0,\min(f_u-1,g_u+1)]\) 任意取，对所有值求和后加上全集即可。

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接下来并不是所有点都可以选了，但我们仍然考虑在邻域邻域的中心 \(u\) 处统计答案，即使这个中心并不能选择（我们统计的其它某个可以选的 \(v\) 的 \(d_1\) 级邻域但因为溢出而以 \(u\) 为中心）。

若 \(u\) 可以选择，则它作为中心的情况和上面相同。

若 \(u\) 不能选择，则需要 \(u\) 某个方向的一个可选择的 \(v\)，填满它的子树并从 \(u\) 向外延伸向其它方向。

我们把 \(u\) 当作中心的话，需要这个 \(v\) 所在的子树被填满（这样才能使中心向 \(u\) 偏移，否则中心显然不能是 \(u\)），并向外蔓延的距离至少要比这个子树的深度大，才可以把 \(u\) 当作中心。

所以考虑 \(d\) 能够取的最小值，即所有存在可以选择的点 的子树中，最深点深度的最小值，称为 \(h_u\)，通过换根求出即可，那么这个点可取的区间即 \([h_u,\min(f_u-1,g_u+1)]\)，对所有点求和再加上全集即可。

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其实最开始解决这个问题时，我采用的办法是树定一个根，然后对于每个点集在可行的最靠上的 \(u\) 的邻域统计。

在解决 \(S\) 为所有点的情况时还可以用类似的办法解决（在钦定邻域中心不能上移的位置统计），但是无法拓展到 \(S\) 不是全集的情况。

这启示我们在统计无根树问题的时候，最好还是采用更加「无根」的统计方式，比如“中心”、“重心”、“最近”之类的，而不是“公共祖先”、“最上方”之类的有根树方向。

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