【题解】AGC008F | 思维 统计技巧 换根 二次扫描

题意：给出一个 $n$ 个点的树（边权为 $1$）和集合 $S$，求有多少个点集 $T$ 可以被表示为离 $S$ 中的一个点 $u$ 距离不超过 $d$ 的点构成的集合（下文称为 $u$ 的 $d$ 级邻域）。

考虑 $S$ 为所有点的特殊情况：

我们直接求每个点邻域的个数再求和，会算重一些点集，这种情况发生仅当这个邻域在某些方向“满了”，从而可以认为是向没满的方向移动一些并把这个点当作邻域的中心。

如下图中的黑色点集既可以表示为 $v$ 的 $3$ 级邻域也可以表示为 $u$ 的 $2$ 级邻域。

于是我们考虑在点集的“中心”，即邻域的 $d$ 最小时统计，容易发现对于所有不是全集的某个邻域，都存在唯一的一个点 $u$ 使得邻域的 $d$ 最小（尽可能不溢出），于是我们单独统计全集，接下来考虑枚举一个点并统计它作为中心的邻域。

令 $f_u$ 表示 $u$ 在树上最远点的距离，$g_u$ 表示次远点的距离，容易换根求出 $f_u,g_u$。

首先 $d$ 不能取 $\geq f_u$ 的值，因为我们现在只统计不是全集的集合。

接下来考虑 $u$ 是中心的条件：不能存在某个相邻的 $v$ 使得 $v$ 的 $d-1$ 级领域和 $u$ 的 $d$ 级领域相同，可以发现这种情况仅当除了 $v$ 方向的其它方向的子树内都是满的，显然 $v$ 只能在 $f_u$ 所在子树的方向，且其它方向最远距离的点的距离都 $\leq d-2$。（在 $v$ 处 $d-1$ 也能统计到）于是我们得到 $d$ 不能取 $\geq g_u+2$ 的值。

则 $u$ 可以选择的 $d$ 在 $[0,\min(f_u-1,g_u+1)]$ 任意取，对所有值求和后加上全集即可。

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接下来并不是所有点都可以选了，但我们仍然考虑在邻域邻域的中心 $u$ 处统计答案，即使这个中心并不能选择（我们统计的其它某个可以选的 $v$ 的 $d_1$ 级邻域但因为溢出而以 $u$ 为中心）。

若 $u$ 可以选择，则它作为中心的情况和上面相同。

若 $u$ 不能选择，则需要 $u$ 某个方向的一个可选择的 $v$，填满它的子树并从 $u$ 向外延伸向其它方向。

我们把 $u$ 当作中心的话，需要这个 $v$ 所在的子树被填满（这样才能使中心向 $u$ 偏移，否则中心显然不能是 $u$），并向外蔓延的距离至少要比这个子树的深度大，才可以把 $u$ 当作中心。

所以考虑 $d$ 能够取的最小值，即所有存在可以选择的点 的子树中，最深点深度的最小值，称为 $h_u$，通过换根求出即可，那么这个点可取的区间即 $[h_u,\min(f_u-1,g_u+1)]$，对所有点求和再加上全集即可。

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其实最开始解决这个问题时，我采用的办法是树定一个根，然后对于每个点集在可行的最靠上的 $u$ 的邻域统计。

在解决 $S$ 为所有点的情况时还可以用类似的办法解决（在钦定邻域中心不能上移的位置统计），但是无法拓展到 $S$ 不是全集的情况。

这启示我们在统计无根树问题的时候，最好还是采用更加「无根」的统计方式，比如“中心”、“重心”、“最近”之类的，而不是“公共祖先”、“最上方”之类的有根树方向。

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