AGC008E Next or Nextnext 解题报告
\(\text{分析}\)
\(i\to a_i\) 构成内向基环树,配合暴力程序观察内向基环树常见的一些特殊情况:
灰色笔对应的是 \(i\to a_i\),黑色笔对应的是 \(i\to p_i\),我们相当于要构造一个黑色的排列(若干环)使得每一条灰色边的起点可以通过一条或两条黑色边到达终点。
\(a_i=i\)(全是自环):
可以任意选择若干对自环配对并连边,显然满足 \(i\to j\to i\),也可以选择直接 \(i\to i\)。
显然不可能出现三元环或更大的环因为不可能满足 \(i\to j\to i\)。
\(a_i=i\bmod n+1\)(一个大的纯环):
首先显然 \(i\to a_i\) 是一种满足条件的环。
考虑是否存在其它连边方式:存在一个 \(i\) 满足 \(p_{p_i}=a_i\) 的情况,因为环这种情况每个 \(a_i\) 只出现了一次,所以一定有所有 \(i\) 都满足 \(p_{p_i}=a_i\)(两步到达)。
当 \(n\) 是大于 \(1\) 的奇数时,存在一种这样的连边:\(i\to (i+\lceil\frac n 2\rceil) \bmod n\),满足这种条件,如下图:
容易证明不存在其它连边方式。
两个大小相同的纯环:
假设环之间存在一条连边 \(i\to j\),那么一定有 \(j\to p_i\),因此有 \(p_i\to p_j\) ……,可以根据第一条边确定整个环对应的连边方式。
环加一条链:
我们先来考虑这个链只有一个点 \(1\) 的情况:
对于这个链连着的点 \(u\) 存在两个 \(a_x=a_y = u\),也就说一定是 \(p_x=y,p_y=u\) 或 \(p_y=x,p_x=u\)(因为要求是排列)分别可以对应着下面这两种连接的方法。
对于更长的链也是类似的:在 \(u\) 处选择上一步连接环上或链上 分别对应着提前 \(\text{长度}\) 个点开始交叉链和环,也可以选择提前 \(\text{长度}+1\) 个点开始交叉链和环。
基环树:
当基环树的形态不是“环+若干条链”的时候,即出现了并列的“分叉”情况,那么这个时候分叉的两个点 \(u,v\) 之间必须得是串起来的关系,就无法让 \(x\to u\to v\) 的 \(x\) 满足 \(a_x\) 为 \(p_x\) 或 \(p_{p_x}\) 了。(因为题目的限制导致我们最多同时交叉着走两条链,要是交叉走三条就一定会出现 \(p_{p_x}\) 和 \(p_x\) 都不等于 \(a_x\) 的情况)
所以我们只考虑环+若干条链的这种形态的基环树,显然链之间是独立的,不可能互相连边,于是我们分别考虑每条链可能的情况即可,(从链进入/从环进入)可能的情况取决于这条链在环上离前面的链的长度。
非环的基环树是否可能还会有类似环的另一种连边方式?环的第二种连边方式需要满足所有 \(a_i\) 都为 \(p_{p_i}\)(每一步都确定了),而这个时候就无法让多出来链上的点满足 \(p_i=a_i\) 了。(环的形态固定了,无法接入)
若要连接两个非环的基环树,因为环上部分的连接已经确定,且每步都满足 \(p_{p_i}=a_i\),因此无法使得有点连向非环的部分,所以非环的基环树一定只能内部连边。
\(\text{结论}\)
我们有着这样一些的连边方式:
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对于一个任意的环,我们可以让 \(p_i=a_i\)。
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对于一个任意长度为 \(n=2k+1(k\in \mathbb{N^+})\) 的环,我们可以让 \(p_i=(a^{k+1} )_i\)。(上方有图)
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对于两个长度都为 \(L\) 的环,我们有 \(L\) 种方式确定第一个环中某一个点连向的第二个环中的点,接下来每一步连接方式都确定了(为了连向上一步的 \(a_i\)),故有 \(L\) 中连接两个环的方法。
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对于一个非环的基环树,且形态为环加若干条链,我们可以决定每条长度为 \(L\) 的链接入环的位置连向的是环还是链,分别需要对应连接环上前方 \(L\),\(L+1\) 个点。
\(\text{计数}\)
因为基环树是独立的,我们先把所有基环树找出来并判断形态,然后求出每个点连出去的链长度,然后在环上转圈,找到每个链前面对应的空余长度,根据空余长度和链长度的大小关系分别对应着有 \(0,1,2\) 种连边方式的系数,对所有链的系数求乘积即可。
接下来就考虑若干环之间的连边,每种长度的环是独立的,对于所有环长为 \(L\) 的环,枚举其连接两个环的数量 \(C(2C\leq L)\),则将这些环配对的方案数为
这个组合数意义很好理解:选出 \(C\) 个与 \(C\) 个之间的对应关系,然后除以 \(2^{C}\) 因为配对关系是无序的,左右等价。
每组环根据不同的错位有 \(L\) 种连法,于是带有 \(L^{C}\) 的系数。
特殊地,若环长 \(L\) 为大于 \(1\) 的奇数,单个的环会有两种连法,再乘上 \(2^{L-2C}\) 即可。
对所有环长的答案求乘法原理,再乘上基环树的方案就是答案。
我咋天天场切 3500 啊?感觉这个结论还是蛮好猜的(?)
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