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【题解】CF865C 二分求期望

题意：

你是一个 up 主，你要录一段速通 RA2YR 的视频，

战役有 $n$ 关，每关你有 $p_i\%$ 的可能性花 $F_i$ 的时间通过， $(1-p_i)\%$ 的可能性花掉 $S_i$ 的时间通过（失误了），其中保证 $F_i>S_i$ 。

但因为你想“速通”，你不希望你的视频长度超过 $m$ 。

当你认为自己接下来可能录不完（接着录录完不如重新录）时，你会重新开始录，求录完整个游戏的时间期望。

思路：

首先不考虑时间限制，用 $f(i)$ 表示打完前 $i$ 关的期望时间，那么由期望的线性性易得转移方程为：

$f(i)=f(i-1)+p_i \times F_i+(1-p_i)\times S_i$

然后考虑时间限制，那么打到第 $i$ 关用时 $a,b(a<b)$ 时打完的期望是不同的，（可能会重来）

所以为状态再加一维： $f(i,j)$ 表示打过了第 $i$ 关用时为 $j$ 时打完的期望。

易知 $f(n,j)=0$ ，要求 $f(0,0)$ ，每一位都有其后一位有关，所以是由 $n$ 倒推至 $0$ 。

转移方程为：

$f(i,j)=\begin{cases} 0 ,& i=n,j\le m\\ f(0,0),& j >m \\ \min(f(0,0),e1+e2) ,& \text{otherwise.} \end{cases}$

其中 $e_1=p_{i+1} \times f(i+1,j+f_{i+1})+f_{i+1}))$ 。

$e_2=p_{i+1}\times(1-p_{i+1})\times(f(i+1,j+S_{i+1})+S_{i+1})$ 。

$f(0,0)$ 表示回到最开始重新打（如果重新打的期望已经比现在更优就重新打，如果超过 $m$ 也要重新从头开始），

其余部分和正常求期望相同。

现在就出现了问题：这不是一个 dp，它的转移有环，转移关系如图：

$f(0,0)$ 决定着每一个 $f$ 值，又要由其它 $f$ 值得到，形成了环。

那么应该怎么处理环呢？

显然，每个未知 $f$ 值都对应一个转移，也就是说这些转移形成了一个由 $m\times n+1$ 个方程， $m\times n+1$ 个未知数组成的方程组。

所以我们似乎可以使用高斯消元？

$\text{O}(n^3 m^3)$ 的复杂度很明显不能接受，而且 $\min$ 函数的存在会让消元变得复杂。

分析发现造成这些环的”罪魁祸首“都是 $f(0,0)$ ，把 $f(0,0)$ 看作常数，那么就可以无环转移，怎么转移呢?

使用 dp！

很显然我们需要找到正确的停下时间，因为最优重开时间一定是等于期望时间的，并且显然由单调性，所以二分停下的时间即可。

//dp[i][j]=(dp[i+1][j+a[i]]+a[i])*p[i]+(p[i+1][j+b[i]]+b[i])*(1-p[i])
#include<bits/stdc++.h>
#define eps 0.00000000002
using namespace std;
long double f[52][50002];int a[5003],b[5300],p[5300];
int n,m;
bool check(long double v)
{
    f[n][0]=0.000000;
    for(int i=n-1;i>=0;--i)
      {
        for(int j=m+1;j<=5002;++j)
          f[i+1][j]=v;
        for(int j=0;j<=m;++j)
           f[i][j]=min(v,(f[i+1][j+a[i+1]]+a[i+1])*p[i+1]/100.0+(f[i+1][j+b[i+1]]+b[i+1])*(100.0-p[i+1])/100.0);
      }
    return f[0][0]<v; 
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;++i)
      cin>>a[i]>>b[i]>>p[i];
    long double l=0,r=1e9,ans=-1.000;
    int cnt=0;
    while(r-l>eps)
     {
        cnt++;
        if(cnt-200>0)break;
        long double mid=(l+r)/2.00;
        if(check(mid)) ans=mid,r=mid-eps;
        else l=mid+eps;
     }
     printf("%.9Lf",ans);
}