珂朵莉树学习笔记

$\text 1.$ 我永远喜欢珂朵莉~~

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$\text 2.$

珂朵莉树，又名$\text{Old Driver Tree(ODT)}$，一种暴力维护成段区间的暴力数据结构，通常由std::set实现。

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$\text 3.$

珂朵莉树通常适用于区间替换(覆盖)操作，将一大段完全相同的区间维护为一个点，再放进平衡树中。

支持以下操作：

• 1 $\text {split}$ 分裂 ：

将区间$[l,r]$分裂成区间$[l.p-1],[p,r]$

• 2 $\text {assign(Merge)}$ 区间赋值 ：

将区间$[l,r]$之间的区间全部替换为新区间$[l,r]$

• 3 询问及其他操作

单点操作：查找到该点所在的区间并更改

区间操作：分裂两端点后暴力更改所有区间

单点查区间覆盖板子

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$\text 4.$

分裂即在set中查询使用std::upper_bound查询该点所在的区间，得到区间内的值，删除该区间，插入两个新区间，复杂度为$O(\log n )$。

区间赋值就是将两端点处的区间断开，再将区间内的小区间都删去，再将新区间加入，时间复杂度为$O(k\log n)$ 其中$k$为涉及到的区间个数。

单点操作/查询的时间复杂度同样为$O(\log n )$

区间操作/查询的时间复杂度为$O(k \log n)$

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$\text 5.$ 有关时间复杂度

这玩意儿在啥时候是对的？为啥是对的？

1.区间覆盖 单点查询

势能分析：

假设一个状态的势能为此状态下不同段的个数（即set的大小）

那么区间赋值涉及到的区间数$k$,则势能函数必会减小至少$k-2$

所以时间复杂度和消耗的势能是成线性关系的，又由于初始态和末态的势能都是$O(n)$级别的，现在需要证明势能的增量与操作数呈线性/亚线性关系。

很明显一次$\text {assign}$操作最多使势能增加2，复杂度为$O(\log n )$，所以势能函数的增量$\leq 2\times$操作次数。

所以在这种情况下，珂朵莉树的复杂度是$O(n\log n)$

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2.区间覆盖 带区间操作 数据随机

神奇 需要用到积分证明

然而此处板书太小

写不下

原始证明

可以证明段的个数$x$和区间覆盖的出现密度的关系$k$

x $\propto O(\frac n k)$

神神奇奇

用set 的实现复杂度是$O(n \log \log n)$

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3.数据较水

在出题人不可刻意卡的情况下具有优秀的复杂度，可以拿来骗分。

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$\text 6.$ 一些例题

CF896C

起源题，随机数据，区间覆盖，区间加，区间k大，区间k次方和。

CF343D

看到树上路径问题果断树剖，看到区间赋值单点查询果断$\text{ODT}$，在重链剖分序上使用$\text{ODT}$维护即可。 与大多数$\text{ODT}$题目一样，可用$\text{Segment Tree Beats}$完成。

CF1638E

因为颜色是全局加，考虑对每种颜色开一个全局加Tag (类似“郁闷的出纳员”中的全局tag) ， 每个点的实际值是 $a[i] + Tag[color[i]]$ ， $color[i] : color_1 \to color_2$，则 $a[i]$减去$Tag[color_2]$ ，加上$Tag[color_1]$即可，在区间替换时在单点查询区间修改的$BIT$上修改即可。

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$\text 7.$算是总结吧

由于$\text{ODT}$算是一种暴力数据结构，因此在时间复杂度不对的题目容易被卡，所以洛谷上好多$\text{ODT}$的好题都加了卡$\text{ODT}$的数据，再此不再列出。

但是学好$\text{ODT}$不失为考试骗分的一种办法，毕竟，没有暴力过不去的题嘛 /憨笑 /憨笑 /憨笑