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【题解】P8850 | 推式子

题意题面陈述很清楚了。但是这个大蒜无炮真的很强（？）

Tag : 推式子解方程最优化问题

一般最优化问题要求答案取模有以下两种情况：

1.有通用的，固定的最优方案结论。

2.答案可以用能够储存的实数表示出来（分母分子不含有较大组合数或阶乘）。

对于这道题，因为没有一种显然的最优策略，所以我们猜测后者。

考虑如何计算一个点到另一个点的期望次数

（感觉这个问题莫名的典，但我好像又没做过）

令一个长 $n$ 的环上一对相隔 $i$ 个点的点的期望操作次数为 $f(i) ,i\in[0,n]$

显然有以下结论

$f(0) = 0$

$f(i) = f(n-i)$

拆开 $f(i) = \frac{f(i-1)+f(i+1)}{2} +1$

上式可转化为

$f(i+1)=2f(i)-f(i-1)-2$

$f(i) = 2f(i-1)-f(i-2)-2 \ \ (i>1)$

发现这是一个环形的方程组，令 $f(1) = x$

则

$f(2) = 2f(1) -f(0) - 2 = 2x - 2$

$f(3) = 2f(2) - f(1) - 2= 3x - 6$

$f(4) = 2f(3) - f(2) - 2 =4x - 12$

$\dots$

$f(k) = kx - k^2+k$

如果你不想知道我是怎么发现这个规律的，请跳过这几行。

其实是这样的：

$\begin{bmatrix} f(i) & f(i-1) & 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} f(i - 1) & f(i-2) & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2&1&0\\ -1&0&0\\ 2&0&1\\ \end{bmatrix}$

在脑袋中运行 Brain++ 语言，发现这个矩阵的 $k - 1$ 次方等于

$\begin{bmatrix} f(k) & f(k-1) & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(1) & f(0) & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} k&1&0\\ -k+1&-k+2&0\\ k^2-k&k^2-3k+2&1\\ \end{bmatrix}$

其实有时候用矩阵打表找规律很方便。

代入最开始的等式

$f(n-1)=(n-1)x-(n-1)(n-2) = f(1)=x$

$x = n - 1$

$f(i) = i (n-i)$

于是我们就得到了这个优美的，没有分数的结论。

如何选择使得答案最优？

令 $ans(p)$ 为选 $p$ 做终点行时的答案。

$ans(p) = \sum_{i=1}^n f(\left|p - i\right|)\times ai$

拆开绝对值和 $f$ 得到

$ans(p)=\sum_{i=1}^p i^2\times a_i +(2p-n)\sum_{i=1}^p i\times a_i +(pn -p^2)\sum_{i=1}^pa_i + \sum_{i=p+1}^n i^2\times a_i +(2p+n)\sum_{i=p+1}^n i\times a_i -(pn +p^2)\sum_{i=p+1}^n a_i$