【题解】 CF1712F | 思维 长链剖分 启发式合并

这题你谷咋没题解啊

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题意：

给你一棵树边权全为 1 ，询问若把所有叶子两两连一条边长为 $d$ 的边后的直径。

$n \leq 10^6 , q\leq 10$

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令 $f_x$ 表示离 $x$ 最近的叶子离它的距离， $f$ 可以通过bfs换根求出。

首先，两个点之间的距离显然为 $\min\{d + f_u + f_v , dis(u,v)\}$

类似统计直径的办法，在合并子树信息时统计答案，有两种暴力的办法：

记录 $u$ 子树内每种 $dep$ 中 $f$ 最小的点。

记录 $u$ 子树内每种 $f$ 中 $dep$ 最大的点

考虑把第二种拎出来优化，原因稍后说明。

令 $mx(u,i)$ 表示 $u$ 子树内 $f_v= i$ 的最大 $dep_v$。

首先合并是容易优化的，启发式地将子树内最深点浅的信息并到浅的儿子上，即可快速地合并信息，复杂度最后说明。

统计答案：

我们需要判断 $\min\{d + f_u + f_v , dis(u,v)\}$ 能否大于 $ans$ 。

假设 $siz_u \leq siz_v$

在小的那边枚举一下 $f_u$ 的值， 我们期望 $u,v$ 的距离大于 $ans$ ，那么有 $f_v \geq ans - f_u - d - 1$ 这样 ans 才可能变大 1 。

之所以选择第二种，因为 $mx(u,i)$ 是随着 $i$ 而不下降的*，这样我们就只用判断 $mx(v,ans - f_u - d - 1)$ 和点 $u$ 的距离能否大于 $ans$ 即可。 如果可以， $ans\gets ans+1$ ， 继续判断。

*：因为每个点子树里的点不可能 $f$ 全比它大，并且相邻两个点的 $f$ 最多相差 1 ，且叶子节点的 $f$ 值为 0 ， 所以这之间的 $f$ 值都存在且深度大于它。

合并部分代码

void Merge(int u,int v) {
    if(dp[u].size( ) > dp[v].size( ))  dp[u].swap(dp[v]); 
    for(int i = 0 ; i < dp[u].size( ) ; ++ i)  {
        /*I want the answer to be more than ans , so dp[u][i] , dp[v][j] , that i + j + x > ans */
        /*  j >= ans - i - t - 1  */
        while(1) {
            int lower = max(0 , ans - i - t + 1) ;
            if(lower >= dp[v].size( )) break; 
            if(dp[v][lower] + dp[u][i] - 2 * dep[v] > ans) ans ++ ;
            else break;   
        }
    }
    for(int i = 0 ; i < dp[u].size( ) ; ++ i) {
        upmax(dp[v][i] , dp[u][i]) ; 
    }
}

void dfs(int x) {
    for(int p:son[x]) dfs(p) , Merge(p , x);
    while(1) {
        int lower = max(0 , ans - f[x] - t + 1);
        if(lower >= dp[x].size( )) break;
        if(dp[x][lower] - dep[x] > ans) ans ++ ;
        else break; 
    }
    if(f[x] == dp[x].size( )) dp[x].emplace_back(dep[x]) ;
}

完整代码

这类带有 最大化 $\min(x,y)$ 的题目，目前已经确定了部分答案，期望有更优答案，就只需要枚举 $y \geq now$ 的 $x$ 了，一定程度上可以降低复杂度。

复杂度相关：

由于 $ans$ 总共只会扩展 $n$ 次，这部分是 $O(n)$ 的。

合并的时候枚举了最深点浅的那边的 $f$ 值进行更新答案与合并 $f_x\leq dep_x$，单次合并为 $O(\min\{maxdep_u,maxdep_v\})$ 。 因为每个节点都只会在它所在的长链顶端被统计一次，时间复杂度是 $O(n)$ 的 。

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参考了 cf 原题题解。

我：神仙题，神仙做法，扩展答案真的妙。

同学：板

cf 题解：典

我：？