JOISC2022 鱼2

记两个做法。

首先一定存在某些区间将鱼卡住不能往外吃。

容易发现区间形成树形结构，我们要查询不被任何区间覆盖的点数。

因为一个区间跳到包含区间至少会让和翻倍，所以深度是 $O(\log)$ 的。

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1

赛时想了一堆笨办法维护这个树形结构，比如用树套树维护最小的包含它的区间，这样很难做到低于 $3\log$，也不知道为啥有人 $3\log$ 过了。

其实可以不用维护整个树形结构：

全局查询比较好解决，经典区间 $0$ 个数可以维护区间最值及个数解决。

单点修改会产生以其为左端点和以其为右端点的区间，这通过线段树二分很好找到。

而跨过它的区间，就比较难维护，然后补充在后面。

赛时只想到了 3log 做法。

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2

Orz wry.

直接拿线段树维护合并段的关系。

对于一个段，维护 $O(\log)$ 个前缀不能向右扩展， $O(\log)$ 个后缀不能向左扩展，然后这些段之间是可以合并的，过程类似twopointers，如果可以走到整个段就统计，如果卡在中间了也统计。

也是 $\log^2$。

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3: 1做法继续的思考。

超级简单不用动脑子的做法。

但是好像卡不过去。

就是直接 像 [地牢游戏] 一样 给值域 $2^k$ 分层，暴力找到修改点每层的前驱和前驱的前驱和后继和后继的后继，有且仅有这些点可能成为区间的端点——因为吃了这两个就进入了下一层，所以再靠前或者靠后就一定不会卡住它了。

但是做一次询问要做 4 次修改，端点改成无穷大再改回去。

复杂度理论 $\log^2$，常数巨大。